На примерах представления функций в виде рядов и интег ралов рдзьясняется смысл понятия «представление»
Различные представления функций. Функция $и$ может быть с помощью формулы (17.21) разложена по полной системе собственных функций некоторого оператора $\hat{A}$. Совокупность коэффициентов разложения $a_{n}$ полностью определяет функцию $u$. Поэтому вместо $u$ можно пользоваться совокупностью коэффициентов $a_{n}$, которая описывает функцию $u$, но в другом представлении; в данном случае в том, где оператор $\hat{A}$ диагонален, или в $A$-представлении. Смысл выражения «оператор диагонален» будет сейчас пояснен.
Матричные элементы операторов. Не только функции, но и операторы можно задавать в различных представлениях. Пусть имеется некоторый оператор $\hat{B}$ :
\[
u=\hat{B} v \text {. }
\]

Зададим функции $u$ и $v$ в $A$-представлении, т. е. в виде коэффициентов разложения по полной системе собственных функций $u_{n}$ оператора $\hat{A}$ :
\[
\begin{array}{l}
u=\Sigma a_{n} u_{n}, \\
v=\Sigma b_{n} u_{n} .
\end{array}
\]

Подставив эти выражения в (20.1), умножив полученное равенство на $u_{k}^{*}$ и проинтегрировав, получим
\[
a_{k}=\Sigma B_{k n} b_{n} \text {, }
\]

где
\[
B_{k n}=\int u_{k}^{*} \hat{B} u_{n} \mathrm{~d} V \text {. }
\]

Из (20.4) следует, что совокупность чисел $B_{k n}$, которую можно записать в виде матрицы, связывает волновые функции $u$ и $v$ в $A$-представлении. Сами числа $B_{k n}$ называются матричными элементами оператора $\hat{B}$.
Если вычисляются матричные элементы оператора $\hat{A}$ в $A$-представлении, т. е. в качестве собственных функций выбираются собственные фукнкции оператора $\hat{A}$, то $A_{k n}=\int u_{k}^{*} \hat{A} u_{n} \mathrm{~d} V=\lambda_{n} \int u_{k}^{*} u_{n} \mathrm{~d} V=$ $=\lambda_{n} \delta_{k n}\left(\hat{A} u_{n}=\lambda_{n} u_{n}\right)$.
Отличными от нуля являются лишь матричные элементы с $k=n$, являющиеся диагональными элементами матрицы $\left(A_{k n}\right)$. Это означает, что матрица оператора в его собственном представлении диагональна. Теперь ясен смысл выражения «в том представлении, где оператор $\hat{A}$ диагонален».
Координатное представление. Стационарное состояние квантового объекта (электрона и т. д.) во всем предшествующем изложении описывалось волновой функцией $\Psi=\Psi(x, y, z)$, которую удобно обозначать $\Psi(x)$, понимая под $x$ всю совокупность пространственных переменных. Эту функцию можно представить в виде разложения по некоторой ортонормированной полной системе собственных функций $u_{n}$ в виде
$\Psi(x)=\Sigma a_{n} u_{n}(x)$.
где
$a_{n}=\int u_{n}^{*}(x) \Psi(x) \mathrm{d} x$
– числа. Совокупность всех $\left\{a_{n}\right\}$ определяется волновой функцией $\Psi$, если известно $\Psi$, и полностью определяет $\Psi$, если известна эта совокупность. Функции $u_{n}$ являются собственными функциями некоторого линейного оператора $\hat{A}$ и удовлетворяют уравнениям
$\hat{A} u_{n}=A_{n} u_{n}$,
где $A_{m}$-собственные значения оператора $A$. Поэтому совокупность $\left\{a_{n}\right\}$ волновая функция стационарного состояния $\Psi$ в том представлении, в котором оперпатор $\hat{A}$ диагонален, или в $A$-представлении.

Взяв в качестве оператора $\hat{A}$ гамильтониан $\hat{H}$, получим собственные функции $\Psi_{n}$ уравнения Шредингера $\hat{H} \Psi_{n}=E_{n} \Psi_{n}$,
где $E_{n}$-собственные значения энергии. Разложение волновой функции $\Psi$ по собственным функциям $\Psi_{n}$ имеет вид
$\Psi=\sum_{n} b_{n} \Psi_{n}$,
$b_{n}=\int \Psi_{n}^{*} \Psi \mathrm{d} x$,
Совокупность $\left\{h_{n}\right\}$ описывает функцию $\Psi$ в $E$-представлении, или в энергетическом представлении, или в представлении, в котором гамильтониан $\hat{H}$ диагонален. Энергетическое представление часто используется в квантовой механике при рассмотрении различных вопросов. Широко используется также импульсное представление, или $p$-представление, в котором в качестве собственных функций $u_{n}$ используются собственные функции оператора импульса (18.7).

Операторы в этих представлениях описываются матрицами вида (20.5). Об этих матрицах говорят как об операторах в соответствующем представлении ( $E$-представлении, $p$-представлении и т. д.). Отсюда ясно, что все изложенное выше о квантовой механике с помощью волновой функции $\Psi(x)$, операторов координаты $\hat{x}=x$, операторов импульса $\hat{p}_{x}=$ $=(\hbar / i) \partial / \partial x \quad$ и $\quad$ т. д. может быть сформулировано без использования координат. Другими словами, волновая функция $\Psi(x)$, оператор координаты $\hat{x}=x$, оператор импульса $\hat{p}_{x}=$ $=(\hbar / i) \partial / \partial x$ и т. д. сами являются представлением более абстрактных величин, лежащих в основе квантовой механики. Это конкретное представ-
ление называется координатным или $x$-представлением. Для решения многих задач оно наиболее целесообразно и просто. Однако для решения других задач предпочтительнее пользоваться каким-либо другим представлением, например импульсным, или $p$-представлением. Примеры гакого рода будут встречаться и в этой книге. Важно отметить, что задача лири этом может быть сформулирована и решена непосредственно, например в $p$-представлении, минуя координатное представление. Выбор того или иного представления диктуется особенностями задачи. Исследование общих вопросов теории обычно проводят без конкретного представления, т. е. в абстрактном представлении квантовой механики.
В § 16-19 основные положения квантовой механики были сформулированы в $x$-представлении. Переход к изложению квантовой механики в абстрактном представлении аналогичен, например, переходу в классической механике или электродинамике от координатного изложения теории к бескоординатному. Для этого используется понятие вектора и все операции выражаются в виде операций непосредственно с векторами. Надобность в координатной системе при этом отпадает.
Основным понятием квантовой механики, с помощью которого описывается состояние, является вектор, называемый вектором состояния. Однако в отличие от классической механики вектор состояния даже для одной частицы является бесконечномерным. Совокупность всех таких векторов составляет пространство. в котором оперирует квантовая механика. Для удовлетворения принципа суперпозиции состояний квантовой механики это пространство должно быть линейным. Обобщение свойств трехмерных векторов на многомерные векторы конечного числа измерений проводится без всяких осложнений. Переход к бесконечномерным векторам требует некоторых уточнений. Поэтому сначала будет изложена теория конечномерных векторных пространств (см. § 21), а затем (см. § 22) даны уточнения теории для перехода к бесконечномерным векторным пространствам.