Дается представлеиие оператора спина в базисе собственных векторов оператора одной из его декартовых проекций

Спин. Из экспериментальных данных по дублетной структуре спектров щелочных металлов (см. § 33) следует, что электрон обладает собственным моментом импульса, получившим название спина. Объяснить возникновение спина какой-то классической моделью оказалось невозможным. Спин является первоначальным свойством электрона, и задача заключается не в том, чтобы объяснить, а в том, чтобы описать его.

Поскольку спин является моментом импульса в классическом описании, он является вектором $\mathbf{s}$, проекции которого на оси декартовой системы координат обозначаются, как обычно, $s_{x}, s_{y}, s_{z}$. Векторный характер спина предопределяет его свойства при классическом описании явлений. В частности, его можно складывать с другими моментами импульса по правилу параллелограмма и с орбитальными моментами импульса. Однако его принципиальное отличие от орбитального момента импульса обусловливается тем, что орбитальный момент импульса как динамическая переменная выражается через другие динамические переменныедекартовы координаты и импульсы, в то время как динамическая переменная, названная спином, через другие известные динамические переменные не выражается.

Оператор орбитального момента импульса легко получается по общим правилам перехода от классического описания к квантовому посредством замены классических величин на соответствующие операторы, как это сделано в § 18. Значение оператора
позволяет найти его собственные функции и собственные значения, коммутационные соотношения различного рода и описать все квантовые свойства орбитального момента импульса.
Оператор спина таким путем получить нельзя, потому что он в классической картине не может быть выражен через динамические переменные – декартовы координаты и импульсы. Здесь полезно напомнить, что речь идет именно о выражении в декартовых координатах. Переход к другим координатам можно произвести лишь после записи оператора динамической переменной по этому правилу в декартовых координатах (см. § 23). Поскольку спин не может быть представлен как функция координат и импульсов, оператор спина не может быть построен аналогично оператору орбитального момента импульса. Однако ясно, что как оператор момента импульса он должен удовлетворять коммутационным соотношениям (28.17) и (28.18). Для объяснения экспериментальных результатов необходимо считать собственные значения любой декартовой проекции оператора спина равным $\hbar / 2$ и $-\hbar / 2$ [см. (33.3)]. Этих данных достаточно, чтобы решать квантовомеханические задачи со спином, не имея в явном виде выражения для оператора спина и волновых функций. Однако для многих расчетов предпочтительнее иметь явный вид оператора спина.
Оператор спина. На любое направление, в качестве которого можно выбрать положительное направление оси $Z$, проекция спина может быть равной либо $\hbar / 2$, либо – $\hbar / 2$. Обозначим $\hat{s}_{z}$ оператор, относящийся к проекции спина на ось $Z$. Собственный вектор этого оператора, принадлежащий собственному значению $\hbar / 2$, обозначим $|Z,+\rangle$, а собственному значению $(-\hbar / 2)-|Z,-\rangle$. В обозначении вектора спина (см. гл. 5) знак плюс показывает, что проекция спина ориентирована в направлении положительных значений оси $Z$, а знак минус – в противоположном. Ясно, что уравнения на собственные значения оператора $\hat{s}_{z}$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\hat{s}_{z}|Z,+\rangle=(\hbar / 2)|Z,+\rangle, \\
\hat{s}_{z}|Z,-\rangle=(-\hbar / 2)|Z,-\rangle .
\end{array}
\]

Перейдем к базисному представлению вектора спина, выбрав в качестве базисных векторов $|Z,+\rangle$ и $|Z,-\rangle$, которые ортонормированы. В этом представлении проекции вектора $\mid Z$, $+>$ даются числами $(1,0)$, а вектора $|Z,-\rangle$-числами $(0,1)$, которые принято писать в виде столбцов:
\[
|Z,+\rangle=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right),|Z,-\rangle=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) .
\]

Операторы в базисном представлении выражают матрицами, элементами которых являются матричные элементы оператора. В своем собственном представлении оператор диагонален. Учитывая, что сопряженные вектора $|Z,+\rangle^{+}$и $|Z,-\rangle^{+}[$см. (21.46)] выражаются в виде строк из комплексно-сопряженных величин (36.2), запишем
** Спин не имеет классического аналога и в классической картине не может быть выражен через динамические переменные-декартовы координаты и импульсы. Поэтому оператор спина не может быть построен аналогично оператору орбитального момента импульса, но, будучи оператором момента импульса, он должен удовлетворять тем же коммутационным соотношениям.
Операторы проекций спина в его собственном представлении даются матрицами (36.5) – (36.7).
\[
\begin{array}{l}
|Z,+\rangle^{+}=\langle Z,+|=(1,0),| Z,-\rangle^{+}= \\
=\langle Z,-|=(0,1) .
\end{array}
\]

Умножая (36.1) слева скалярно на (36.3), получаем следующие выражения матричных элементов оператора $\hat{s}_{z}$ в его собственном представлении:
$\left\langle Z,+\left|\hat{s}_{z}\right| Z,+\right\rangle=\hbar / 2,\left\langle Z,+\left|\hat{s}_{z}\right| Z,-\right\rangle=0$, $\left\langle Z,-\left|\hat{s}_{z}\right| Z,+\right\rangle=0,\left\langle Z,-\left|\hat{s}_{z}\right| Z,-\right\rangle=$ $=-\hbar / 2$.

Таким образом, матрица оператора $\hat{s}_{z}$ в его собственном представлении имеет вид
$\hat{s}_{z}=\frac{\hbar}{2}\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)$.
Для получения в том же представлении выражения для операторов $\hat{s}_{y}$ и $\hat{s}_{x}$ необходимо воспользоваться коммутационными соотношениями (28.17) и (28.18), которые дают уравнения для определения элементов матриц $\hat{s}_{y}$ и $\hat{s}_{x}$. Не приводя математических выкладок, запишем их в виде
$\hat{s}_{x}=\frac{\hbar}{2}\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$,
$\hat{s}_{y}=\frac{\hbar}{2}\left(\begin{array}{cc}0 & -i \\ i & 0\end{array}\right)$.
Матрицы (36.5)-(36.7) эрмитовы и удовлетворяют требованиям квантовой механики. Векторный оператор
\[
\hat{s}=\left(\hat{s}_{x}, \hat{s}_{y}, \hat{s}_{z}\right)
\]

является оператором спина. С учетом (36.5) – (36.7) получаем
\[
\hat{s}^{2}=\hat{s}_{x}^{2}+\hat{s}_{y}^{2}+\hat{s}_{z}^{2}=\left(3 \hbar^{2} / 4\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) .
\]

Из (36.9) следует, что собственное значение оператора квадрата спина равно $3 \hbar^{2} / 4=\hbar^{2} s(s+1)$, где $s=$ $=1 / 2$, что совпадает с (33.2) после извлечения квадратного корня. Это выражение находится в полной аналогии с формулой (28.20a) для собственных значений оператора квадрата орбитального момента импульса и иллюстрирует физическую природу спина как момента импульса, не имеющего классической интерпретации.

Без дальнейших пояснений очевидно, что полученные для оператора спина выражения справедливы не только для спина электрона, но и для спина $1 / 2$ любой другой частицы.

Оператор проекцни спина на произвольное направление. Направление характеризуем единичным вектором $\mathbf{n}$. Ясно, что проекции этого вектора на оси декартовой системы координат даются формулами
\[
\begin{array}{l}
n_{x}=\mathbf{n} \cdot \mathbf{i}_{x}=\sin \theta \cos \varphi, \\
n_{y}=\mathbf{n} \cdot \mathbf{i}_{y}=\sin \theta \sin \varphi, \\
n_{z}=\mathbf{n} \cdot \mathbf{i}_{z}=\cos \theta,
\end{array}
\]

где $\varphi$-полярный и аксиальный углы сферической системы координат с полярной осью $Z$. Проекция спина на направление $\mathbf{n}$ равна
\[
\begin{array}{l}
\hat{s}_{\mathbf{n}}=\mathbf{n} \cdot \hat{\mathbf{s}}=n_{x} \hat{s}_{x}+n_{y} \hat{s}_{y}+n_{z} \hat{s}_{z}= \\
=\sin \theta \cos \varphi \hat{s}_{x}+\sin \theta \sin \varphi \hat{s}_{y}+\cos \theta \hat{s}_{z}= \\
=\frac{\hbar}{2}\left(\begin{array}{l}
\cos \theta \sin \theta \mathrm{e}^{-i \varphi} \\
\sin \theta \mathrm{e}^{i \varphi}-\cos \theta
\end{array}\right),
\end{array}
\]

где $\hat{s}_{x}, \hat{s}_{y}, \hat{s}_{z}$ определены равенствами (36.6), (36.7) и (36.5). Собственные значения $\lambda$ оператора $\hat{s}_{\mathbf{n}}$ и принадлежащие им собственные векторы $|n, \lambda\rangle$ находим из уравнения
\[
\hat{s}_{\mathbf{n}}|\mathbf{n}, \lambda\rangle=\lambda|\mathbf{n}, \lambda\rangle \text {. }
\]

Уравнение (21.56) для определения собственных значений для оператора (36.11) имеет вид
\[
\left|\begin{array}{ll}
(\hbar / 2) \cos \theta-\lambda & (\hbar / 2) \sin \theta \mathrm{e}^{-i \varphi} \\
(\hbar / 2) \sin \theta \mathrm{e}^{i \varphi} & -(\hbar / 2) \cos \theta-\lambda
\end{array}\right|=
\]
$=\lambda^{2}-(\hbar / 2)^{2} \cos ^{2} \theta-(\hbar / 2)^{2} \sin ^{2} \theta=0$
и поэтому собственные значения равны $\lambda_{1}=\hbar / 2, \quad \lambda_{2}=-\hbar / 2$.

Этот результат находится в полном соответствии с основным свойством спина электрона иметь на любое направление лишь два значения проекции. Принадлежащие собственным значениям (36.14) ортонормированные собственные векторы обозначим $|\mathbf{n},+\rangle$ и $|\mathbf{n},-\rangle$. В базисе векторов $|Z,+\rangle,|Z,-\rangle$ они могут быть представлены в виде
\[
|\mathbf{n},+\rangle=\alpha_{1}|Z,+\rangle+\beta_{1}|Z,-\rangle,
\]
\[
|\mathbf{n},-\rangle=\alpha_{2}|Z,+\rangle+\beta_{2}|Z,-\rangle,
\]

где постоянные $\alpha_{i}, \beta_{i}(i=1,2)$ удовлетворяют условиям нормировки
\[
\left|\alpha_{i}\right|^{2}+\left|\beta_{i}\right|^{2}=1 \quad(i=1,2) \text {. }
\]

Подставляя (36.15) в (36.12), находим $\begin{array}{ll}\alpha_{1}=\cos (\theta / 2) \mathrm{e}^{-i \varphi / 2}, & \beta_{1}=\sin (\theta / 2) \mathrm{e}^{i \varphi / 2}, \\ \alpha_{2}=-\sin (\theta / 2) \mathrm{e}^{-i \varphi / 2}, & \beta_{2}=\cos (\theta / 2) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi / 2}\end{array}$ $\alpha_{2}=-\sin (\theta / 2) \mathrm{e}^{-i \varphi / 2}, \beta_{2}=\cos (\theta / 2) \mathrm{e}^{i \varphi / 2}$.

Поэтому собственные векторы (36.15) имеют вид
\[
\begin{array}{l}
|\mathbf{n},+\rangle=\left(\begin{array}{c}
\cos (\theta / 2) \mathrm{e}^{-i \varphi / 2} \\
\sin (\theta / 2) \mathrm{e}^{i \varphi / 2}
\end{array}\right), \\
|\mathbf{n},-\rangle=\left(\begin{array}{c}
-\sin (\theta / 2) \mathrm{e}^{-i \varphi / 2} \\
\cos (\theta / 2) \mathrm{e}^{i \varphi / 2}
\end{array}\right),
\end{array}
\]

Непосредственной проверкой убеждаемся, что эти векторы ортонормированы:
\[
\begin{array}{l}
\langle\mathbf{n}+\mid \mathbf{n},+\rangle=\langle\mathbf{n},-\mid \mathbf{n},-\rangle=1, \\
\langle\mathbf{n},-\mid \mathbf{n},+\rangle=\langle\mathbf{n},+\mid \mathbf{n},-\rangle=0 .
\end{array}
\]

Среднее значение проекции спина, находящегося в определенном состоянии. Опыт Штерна – Герлаха (см. § 15) позволяет определить, находится ли спин в состоянии $|\mathbf{n},+\rangle$ или $|\mathbf{n},-\rangle$.

На выходе из аппарата, используемого в опыте, образуются два пучка атомов, в одном из которых все атомы будут в спиновых состояниях $|\mathbf{n},+\rangle$, а в другом $-|\mathbf{n},-\rangle$. Если производить измерение проекции спина на направление $\mathbf{n}$ у атомов в состоянии $|\mathbf{n},+\rangle$, то всегда в результате измерения получается $+\hbar / 2$. При измерении проекции спина на направление $\mathbf{n}$ у атомов, находящихся в состоянии $|\mathbf{n},-\rangle$, всегда в результате измерения получается $-\hbar / 2$. Такая ситуация совместима с представлением о спине как о классическом векторе (моменте импульса), который в состоянии $|\mathbf{n},+\rangle$ совпадает по направлению с n. Это представление еще сильнее подкрепляется расчетом средних значений проекции спина на оси координат:
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\mathbf{n},+\left|\hat{s}_{x}\right| \mathbf{n},+\right\rangle=(\hbar / 2) \sin (\theta / 2) \cos (\theta / 2) \times \\
\times\left(\mathrm{e}^{i \varphi}+\mathrm{e}^{-i \varphi}\right)=(\hbar / 2) \sin \theta \cos \varphi, \\
\left\langle\mathbf{n},+\left|\hat{s}_{y}\right| \mathbf{n},+\right\rangle=(\hbar / 2) \sin (\theta / 2) \cos (\theta / 2) \times \\
\times\left(-i \mathrm{e}^{\varphi}+i \mathrm{e}^{-i \varphi}\right)=(\hbar / 2) \sin \theta \sin \varphi, \\
\left\langle\mathbf{n},+\left|\hat{s}_{z}\right| \mathbf{n},+\right\rangle=(\hbar / 2)\left[\cos ^{2}(\theta / 2)-\right. \\
\left.-\sin ^{2}(\theta / 2)\right]=(\hbar / 2) \cos \theta .
\end{array}
\]

Отсюда с учетом (36.10) следует равенство
\[
\langle\mathbf{n},+|\hat{s}| \mathbf{n},+\rangle=(h / 2) \mathbf{n},
\]

которое совместимо с представлением о спине как о классическом векторе, совпадающем в состоянии $|\mathbf{n},+\rangle$ по направлению с $\mathbf{n}$ и по модулю равном $\hbar / 2$. Но такое представление о спине неправильно. Оно было бы оправданным, если бы при каждом измерении проекции спина в состоянии $|\mathbf{n},+\rangle$ на оси $X, Y, Z$ получились значения (36.21). В действительности в результате каждого измерения проекции спина на любую из этих осей равны либо $+\hbar / 2$, либо $-\hbar / 2$, однако с различной вероятностью. Это озна-
чает, что спин нельзя представить в виде классического вектора, но его образ в виде классического вектора полезен при вычислении средних значений проекций и интерпретации результатов.
Все изложенное справедливо также в приложении к спину в состоянии $|\mathbf{n},-\rangle$ с учетом равенства
$\langle\mathbf{n},-|\hat{\mathbf{s}}| \mathbf{n},-\rangle=-(\hbar / 2) \mathbf{n}$.
Вероятность проекции спина на заданное направление. При измерении проекции спина в состоянии $|\mathbf{n},+\rangle$ на направление, отличное от $\mathbf{n}$, получаются значения $\hbar / 2$ и $-\hbar / 2$, но с различными вероятностями. Вероятности $\mathscr{P}(Z,+)$ и $\mathscr{P}(Z,-)$ проекций $+\hbar / 2$ и – $\hbar / 2$ на ось $Z$ по общему правилу даются соотношениями
$\mathscr{P}(Z,+)=|\langle Z,+\mid \mathbf{n},+\rangle|^{2}=\cos ^{2}(\theta / 2)$,
$\mathscr{P}(Z,-)=|\langle Z,-\mid \mathbf{n},+\rangle|^{2}=\sin ^{2}(\theta / 2)$.
Измерение проекции спина у большого числа $N$ атомов в состоянии $|\mathbf{n},+\rangle$ дает в $N_{+}=N \cos ^{2}(\theta / 2)$ случаях результат $\hbar / 2$ и в $N_{-}=N \sin ^{2}(\theta / 2)$ случаях результат – $\hbar / 2$.