6.1. Потенциальная энергия $E_{\mathrm{n}}$ частицы равна 0 при $x<0$ и $E_{\mathrm{n} 0}$ при $x>0$. Частица движется слева направо с полной энергией $E>E_{\text {п } 0}$. Найти коэффициент отражения и коэффициент прохождения через потенциальный порог.
6.2. Для электрона в одномерной потенциальной яме шириной 0,2 нм найти минимальную энергию $E_{1}$ (на первом энергетическом уровне), разность энергий $E_{2}-E_{1}$, а также длину волны фотона с энергией $E_{2}-E_{1}$.
6.3. В первом приближении маятник можно рассматривать как осциллятор. Определить энергию нулевых колебаний маятника длиной 1 м, находящегося в гравитационном поле Земли.
6.4. Какая доля электронов с энергией 1 эВ пройдет через потенциальный барьер высотой 8 эВ и толщиной 0,5 и 0,3 нм?
6.5. Можно считать, что захваченная ядром $\alpha$-частица находится в потенциальной яме. Считая, что радиус ядра равен $1,4 \cdot 10^{-15} \mathrm{M}$, а высота потенциального барьера на поверхности ядра составляет 4 МэВ, определить отнесенную к 1 с вероятность выхода $\alpha$-частицы из ядра при ее энергии 1 и 2 МэВ.
6.6. Найти спектр энергий изотропного гармонического осциллятора, гамильтониан которого $\hat{H}=\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right)+\frac{D}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$.
6.7. Поток электронов с энергией 1 эВ движется к потенциальному прямоугольному барьеру высотой 10 эВ и бесконечной ширины. На каком расстоянии от поверхности потенциального барьера плотность потока \”иста электронов уменьшится в е раз по сравнению с плотностью потока на поверхности?
6. Простейшие случаи движения микрочастиц
6.8. Найти вероятность того, что электрон в основном состоянии линейного осциллятора находится в пределах области его движения по классической теории.
6.9. Чему равна вероятность нахождения электрона вне классических границ его движения для линейного осциллятора в первом возбужденном состоянии?
6.10. Волновая функция, описывающая состояние движения частицы в потенциальной яме (см. рис. 55), имеет вид $\Psi=A x(a-x)$. Найти разложение $\Psi$ по собственным функциям частицы в потенциальной яме.
6.11. Чему равна средняя энергия частицы в состоянии, описываемом волновой функцией $\Psi$ в задаче 6.10 ?
6.12. Считая, что положительный заряд $Z e$ распределен равномерно в объеме ядра радиуса $5 \cdot 10^{-15} \mathrm{~m}$, найти энергию связи отрицательного точечного заряда $q=-e$, помещенного в центр ядра. Вычислить по соотношению неопределенностей импульс и энергию электрона, заключенного в объеме ядра. Может ли электрон находиться в ядре?