Описывается метод работы с оператором спина и волновыми функциями спина

Уравнение Шредингера для спина в магнитном поле. Магнитный момент $\boldsymbol{\mu}_{s}$, находящийся в магнитном поле с индукцией В, обладает потенциальной энергией
$E_{\mathrm{n}}=-\mu_{s} \cdot \hat{\mathbf{B}}$.
Если не учитывать движения носителя магнитного момента, то (38.1) представляет его полную энергию и, следовательно, оператор Гамильтона имеет вид
$\hat{H}=-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{s} \cdot \hat{\mathbf{B}}$,
где $\hat{\boldsymbol{\mu}}_{s}$ и $\hat{\mathbf{B}}$-операторы магнитного момента и индукции магнитного поля. Оператор спинового магнитного
момента $\hat{\boldsymbol{\mu}}_{s}$ связан с оператором спина $\hat{\mathbf{s}}$ соотношением (34.6):
\[
\hat{\boldsymbol{\mu}}_{s}=(q / m) \hat{\mathbf{s}}, q=-e, m=m_{e}, \hat{\mathbf{s}}=\hat{L}_{s} .
\]

Тогда
\[
\hat{H}=-(q / m) \hat{\mathbf{B}} \cdot \hat{\mathbf{s}},
\]

где принято во внимание, что порядок следования операторов $\hat{\mathbf{B}}$ и $\hat{\mathbf{s}}$ не имеет значения, поскольку они действуют на разные переменные и коммутируют. С учетом (38.4) уравнение Шредингера выглядит очень просто:
$(-q / m) \hat{\mathbf{B}} \cdot \hat{\mathbf{s}}|\Psi\rangle=E|\Psi\rangle$.
Принимая во внимание (36.5)-(36.7), напишем
$\hat{\mathbf{B}} \cdot \hat{\mathbf{s}}=B_{x} \hat{s}_{x}+B_{y} \hat{s}_{y}+B_{z} \hat{s}_{z}=$
$=\frac{\hbar}{2}\left(\begin{array}{lr}B_{z} & B_{x}-i B_{y} \\ B_{x}+i B_{y} & -B_{z}\end{array}\right)$.
Индукция магнитного поля, направленного по оси $Z$, равна $\mathbf{B}=$ $=\left(0,0, B_{z}\right)$, тогда [см. (38.5)]
\[
-\frac{q \hbar}{2 m}\left(\begin{array}{cc}
B_{z} & 0 \\
0 & -B_{z}
\end{array}\right)|\Psi\rangle=E|\Psi\rangle .
\]

Из (38.7) видно, что собственные значения энергии равны
\[
E_{1}=-q \hbar B_{z} /(2 m) ; E_{2}=q \hbar B_{z} /(2 m),
\]

а собственные функции совпадают с (36.2).

Прецессия спина. Уравнение Шредингера с гамильтонианом (38.4), зависящее от времени, при $\mathbf{B}=\left(0,0, B_{z}\right)$ имеет вид
\[
-\frac{\hbar}{i} \mathrm{~d}|\Psi(t)\rangle=\mu_{\mathrm{B}} B_{z}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)|\Psi(t)\rangle,
\]

где $\mu_{\mathbf{B}}=-q \hbar /(2 m)=e \hbar /\left(2 m_{e}\right)$.
Решение этого уравнения ищем в виде суперпозиции собственных функций (36.2) оператора спина с коэффициентами $a_{+}, a_{-}$, зависящими от времени:
$|\Psi(t)\rangle=a_{+}(t)|Z,+\rangle+a_{-}(t)|Z,-\rangle$
или
$|\Psi(t)\rangle=a_{+}(t)\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)+a_{-}(t)\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}a_{+}(t) \\ a_{-}(t)\end{array}\right)$.
Подставляя (38.10) в (38.8), находим уравнения для $a_{+}(t)$ и $a_{-}(t)$ :
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm{d} a_{+}(t)}{\mathrm{d} t}=E a_{+}(t),-\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm{d} a_{-}(t)}{\mathrm{d} t}=-E a_{-}(t),
\]

где $E=\mu_{\mathrm{B}} B_{z}$. Решение уравнений (38.11):
\[
a_{+}(t)=a_{+}(0) \mathrm{e}^{-i E t / \hbar}, a_{-}(t)=a_{-}(0) \mathrm{e}^{i E t / \hbar} .
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
|\Psi(t)\rangle=\left(\begin{array}{l}
a_{+}(0) \mathrm{e}^{-i E t / \hbar} \\
a_{-}(0) \mathrm{e}^{i E t / \hbar}
\end{array}\right), \\
|\Psi(t)\rangle^{+}=\langle\Psi(t)|= \\
=\left(a_{+}^{*}(0) \mathrm{e}^{i E t / \hbar}, a_{-}^{*}(0) \mathrm{e}^{-i E t / \hbar}\right) .
\end{array}
\]

Условие нормировки выражается равенством
$\langle\Psi(t) \mid \Psi(t)\rangle=\left|a_{+}(0)\right|^{2}+\left|a_{-}(0)\right|^{2}=1$.
Теперь необходимо найти средние значения проекций спина на оси координат:
\[
\left\langle\hat{s}_{z}\right\rangle=\left\langle\Psi(t)\left|\hat{s}_{z}\right| \Psi(t)\right\rangle=
\]
\[
\begin{array}{l}
=(\hbar / 2)\left[\left|a_{+}(0)\right|^{2}-\left|a_{-}(0)\right|^{2}\right], \\
\left\langle\hat{s}_{x}\right\rangle=\left\langle\Psi(t)\left|\hat{s}_{x}\right| \Psi(t)\right\rangle= \\
=(\hbar / 2)\left[a_{+}^{*}(0) a_{-}(0) \exp (i 2 E t / \hbar)+\right. \\
\left.+a_{+}(0) a_{-}^{*}(0) \exp (-i 2 E t / \hbar)\right],
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\hat{s}_{y}\right\rangle=\left\langle\Psi(t)\left|\hat{s}_{y}\right| \Psi(t)\right\rangle= \\
=(\hbar / 2) i\left[a_{+}(0) a_{-}^{*}(0) \exp (-i 2 E t / \hbar)-\right. \\
\left.-a_{+}^{*}(0) a_{-}(0) \exp (i 2 E t / \hbar)\right],
\end{array}
\]

где для $\hat{s}_{z}, \hat{s}_{x}$ и $\hat{s}_{y}$ использованы выражения (36.5)-(36.8). Из (38.15) следует, что $\left\langle\hat{s}_{z}\right\rangle$ не зависит от времени, а $\left\langle\hat{s}_{x}\right\rangle$ и $\left\langle s_{y}\right\rangle$ изменяются гармонически по времени. Начальная фаза колебаний учитывается комплексностью величин $a_{+}(0)$ и $a_{-}$( 0 ). Поэтому, не ограничивая общности, можно считать $a_{+}(0)$ и $a_{-}(0)$ вещественными и записать формулы (38.15) в виде
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\hat{s}_{z}\right\rangle=(\hbar / 2)\left(a_{+}^{2}-a_{-}^{2}\right), \\
\left\langle\hat{s}_{x}\right\rangle=a_{+} a_{-} \hbar \cos (2 E t / \hbar), \\
\left\langle\hat{s}_{y}\right\rangle=a_{+} a_{-} \hbar \sin (2 E t / \hbar) .
\end{array}
\]

Проекция вектора спина на ось $Z$ неизменна по времени, а его проекция на плоскость $X Y$ вращается вокруг оси $Z$ с угловой скоростью $2 E / \hbar=$ $=e B_{z} / m_{e}$ и приводит к прецессии спина вокруг направления индукции $B_{z}$ магнитного поля, что совпадает с выводами из классической теории движения магнитного момента в магнитном поле, если при этом учесть числовое значение гиромагнитного отношения для спина.