Рассматриваются прохождение микрочастиц через потенциальный барьер и соответствующие физические явлепия.
Определение потенциального барьера. Потенциальным барьером называется область пространства, где потенциальная энергия больше, чем в окружающих областях пространства. Рассмотрим для примера наипростейший случай одномерного движения с потенциальным барьером прямоугольной формы (рис 59). В областях I $(-\infty<x<0)$ и III $(a<x<\infty)$ потенциальную энергию частицы, не ограничивая общности, можно считать равной нулю. Область $I I(0<x<a)$, где потенциальная энергия частицы равна $E_{\text {по }}$, является потенциальным барьером.
Если частица, имеющая энергию $E$, движется в области I в положи-
59
Прямоугольный потенциальный барьер
тельном направлении оси $X$, т.е. по направлению к потенциальному барьеру, то, по классической теории, при $E<E_{\text {по }}$ частица не сможет преодолеть потенциального барьера, поскольку ее энергия недостаточна для этого. В результате частица отразится от потенциального барьера, изменив направление своего движения на обратное. В случае $E>E_{\text {по }}$ частица наверняка преодолеет потенциальный барьер и попадет в область $I I I$, где будет продолжать двигаться с прежней энергией в положительном направлении оси $X$.
Однако квантовая механика приводит к заключению, что в случае $E<E_{\text {п } 0}$ существует определенная вероятность проникновения частицы через потенциальный барьер из области $I$ в область $I I I$, а для $E>E_{\text {п } 0}$ существует определенная вероятность отражения частицы от потенциального барьера. Явление проникновения частицы через потенциальный барьер называют туннельным эффектом. Он имеет большое значение в некоторых физических процессах.
Коэффициент прохождения и коэффициент отражения. Явление прохождения через потенциальный барьер и отражения от него характеризуется с помощью коэффициента прохождения $D$ потенциального барьера и коэффициента отражения $R$. Эти коэффициенты определяются как отношение плотности потока отраженных и
прошедших частиц к плотности потока падающих частиц. Очевидно, что
\[
D+R=1 \text {. }
\]
Прямоугольный потенциальный барьер. Рассмотрим для определенности случай $E<E_{\text {по }}$ и найдем коэффициенты $D$ и $R$. Уравнение Шредингера в различных областях имеет следующий вид:
(I) $\Psi_{1}^{\prime \prime}+k_{1}^{2} \Psi_{1}=0, \quad k_{1}^{2}=2 m E / \hbar^{2} \equiv k^{2}$,
(II) $\Psi_{2}^{\prime \prime}-k_{2}^{2} \Psi_{2}=0, \quad k_{2}^{2}=\left(2 m / \hbar^{2}\right)\left(E_{n 0}-\right.$ – $E)>0$,
(III) $\Psi_{3}^{\prime \prime}+k_{3}^{2} \Psi_{3}=0, \quad k_{3}^{2}=2 m E / \hbar^{2} \equiv k^{2}$,
где штрихами обозначены производные по $x$.
В области $I$ имеются как падающая, так и отраженная волны:
$\Psi_{1}=A_{1} \mathrm{e}^{i k x}+B_{1} \mathrm{e}^{-i k x}$,
а в области $I I I$-только прошедшая волна, движущаяся в положительном направлении оси $X$ :
$\Psi_{2}=A_{3} \mathrm{e}^{i k(x-a)}$.
В области $I I$ общее решение имеет, очевидно, вид
$\Psi_{2}=A_{2} \mathrm{e}^{-k_{2} x}+B_{2} \mathrm{e}^{k_{2} x}$.
Плотность потоков падающих, отраженных и прошедших частиц равна соответственно
$j_{\text {пад }}=(\hbar k / m)\left|A_{1}\right|^{2}, j_{\text {отр }}=-(\hbar k / m)\left|B_{1}\right|^{2}$,
$j_{\text {прош }}=(\hbar k / m)\left|A_{3}\right|^{2}$,
По определению,
$D=\left|j_{\text {прош }}\right| /\left|j_{\text {пад }}\right|=\left|A_{3}\right|^{2} /\left|A_{1}\right|^{2}$,
$R=\left|j_{\text {отр }}\right| /\left|j_{\text {пад }}\right|=\left|B_{1}\right|^{2} /\left|A_{1}\right|^{2}$.
Из условий непрерывности волновой функции и ее производной в точках $x=0, x=a$ находим следующие соотношения между коэффициентами:
$A_{1}+B_{1}=A_{2}+B_{2}$,
$A_{2} \mathrm{e}^{-k_{2} a}+B_{2} \mathrm{e}^{k_{2} a}=A_{3}$,
\[
\begin{array}{l}
i k\left(A_{1}-B_{1}\right)=k_{2}\left(B_{2}-A_{2}\right) \text {, } \\
k_{2}\left(B_{2} \mathrm{e}^{k} 2^{a}-A_{2} \mathrm{e}^{-k 2^{a}}\right)=i k A_{3} \text {. } \\
\end{array}
\]
Из (29.8г), (29.8б) следует, что
\[
\begin{array}{l}
A_{2}=1 / 2(1-i n) \mathrm{e}^{k_{2} a} A_{3}, \\
B_{2}=1 / 2(1+i n) \mathrm{e}^{-k_{2} a} A_{3} .
\end{array}
\]
Здесь
\[
n=k / k_{2}=\left[E /\left(\mathrm{E}_{\mathrm{n} 0}-E\right)\right]^{1 / 2} \text {. }
\]
Так как $|1-i n|=|1+i n|$, то из последних двух уравнений следует, что $\left|A_{2}\right| \gg\left|B_{2}\right|$. Поэтому можно положить $B_{2}=0$. Решая уравнения (29.8), находим
\[
\begin{array}{l}
A_{1}=(1-i n)(i+n) \mathrm{e}^{k_{2} a} A_{3} /(2 n), \\
B_{1}=(1-i n)(n-i) \mathrm{e}^{k_{2}{ }^{a} A_{3} /(4 n) .}
\end{array}
\]
Отсюда для коэффициента прохождения получаем выражение
\[
\begin{array}{l}
D=\frac{\left|A_{3}\right|^{2}}{\left|A_{1}\right|^{2}}=\frac{16 n^{2}}{\left(1+n^{2}\right)^{2}} \exp \left(-2 k_{2} a\right)= \\
=\frac{16 n^{2}}{\left(1+n^{2}\right)^{2}} \exp \left\{-\left[8 m\left(E_{\mathrm{n} 0}-E\right)\right]^{1 / 2} a / \hbar\right\} .
\end{array}
\]
Коэффициент прохождения не слишком мал тогда, когда
\[
\left[8 m\left(E_{\mathrm{n} 0}-E\right)\right]^{1 / 2} a / \hbar \leqslant 1 \text {. }
\]
Для электрона ( $m=9,1 \cdot 10^{-31}$ кг) $a \leqslant \frac{\hbar}{\left[8 m\left(E_{\mathrm{n} 0}-E\right)\right]^{1 / 2}} \approx\left(E_{\mathrm{n} 0}-E\right)^{-1 / 2} \cdot 10^{-16} \mathrm{M}$.
** Потенциальным барьером называется область пространства, где величина потенциальной энергии больше, чем в окружающих областях пространства.
Туннельным эффектом называется проникновение частицы через потенциальный барьер. При туннельном эффекте в области потенциального барьера нарушается закон сохранения энергии.
* Как объясняется холодная эмиссия электронов из металла?
Чем объясняется очень большой интервал значения постоянной радиоактивного $\alpha$-распада?
Потенциальный барьер произвольной формы
Если, например, $E_{\mathrm{n} 0}-E \approx 1$ эВ $=$ $=1,6 \cdot 10^{-19}$ Дж, то коэффициент прохождения отличен от нуля при $a \approx$ $\approx 10^{-10}$. В макроскопических явлениях туннельный эффект не играет существенной роли.
Потенциальный барьер произвольной формы. Потенциальный барьер произвольной формы можно приближенно представить в виде последовательности потенциальных барьеров прямоугольной формы (рис. 60). Число частиц, проникших черех некоторый прямоугольный барьер, будет начальным числом частиц, падающих на следующий прямоугольный барьер, и т. д. Поэтому коэффициент прохождения барьера определится приближенно как произведение коэффициентов прохождения через прямоугольные потенциальные барьеры. Числовой множитель, стоящий в (29.9) при экспоненте, при плавном изменении потенциальной энергии является медленно меняющейся функцией. Таким образом, для потенциального барьера $E_{\mathrm{n}}(x)$ произвольной формы коэффициент прохождения равен
\[
D=D_{0} \exp \left\{-\frac{2}{\hbar} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{2 m\left[E_{\mathrm{n}}(x)-E\right]} \mathrm{d} x\right\} .
\]
Холодиая эмиссия электронов из металла. Прохождение микрочастиц через потенциальный барьер приво-
61
К объяснению «холодной эмиссии» электронов из металла:
$\mathscr{E}$-напряженность электрического поля
дит к холодной эмиссии электронов из металла. Электроны в металле удерживаются некоторыми силами притяжения, так что для удаления электрона из металла необходимо затратить определенную работу. Это означает, что потенциальная энергия электрона вне металла больше, чем внутри него, причем на границе металл-вакуум потенциальная энергия резко возрастает (рис. 61). Электроны внутри металла занимают наинизшие энергетические уровни. Если вблизи поверхности металла имеется электрическое поле порядка $10^{8} \mathrm{~B} / \mathrm{M}$, которое стремится вырвать электроны из металла, то электроны начинают покидать поверхность металла. Это явление называется холодной эмиссией. В рамках классической механики оно непонятно: электрическое поле в металл не проникает и изменяет потенциальную энергию лишь вне металла (штриховая линия на рис. 61). Для того чтобы покинуть металл, электронам необходимо преодолеть потенциальный барьер. Однако их энергия меньше, чем высота потенциального барьера. Поэтому электроны не могут покинуть металл. Можно было бы предположить, что внешнее поле понижает высоту потенциального барьера, благодаря чему высота
барьера оказывается меньше, чем энергия электронов в металле. При этом предположении возникновение «холодной эмиссии» можно было бы объяснигь также и в рамках классической механики, но тогда ток эмиссии должен быть весьма большим и подчиняться таким закономерностям, которые не наблюдаются экспериментально. Поэтому предположение о понижении высоты потенциального барьера должно быть отброшено.
Явление холодной эмиссии электронов из металла объясняется квантовым туннельным эффектом. Вычисление коэффициента прохождения сводится к вычислению интеграла
$I=\frac{2}{\hbar} \int_{0}^{x_{2}} \sqrt{2 m\left[E_{\pi}(x)-E\right]} \mathrm{d} x$,
$E_{\mathrm{n}}(x)=E_{\mathrm{n} 0}-e \mathscr{E} x, E_{\mathrm{n}}\left(x_{2}\right)=E$,
который равен
$I=\frac{4 \sqrt{2 m}}{3 e \mathscr{E} \hbar}\left(E_{\mathrm{\pi} 0}-E\right)^{3 / 2}=\frac{\mathscr{E}_{0}}{\mathscr{E}}$,
где
$\mathscr{E}_{0}=\frac{4 \sqrt{2 m}}{3 e \hbar}\left(E_{\text {п } 0}-E\right)^{3 / 2} \approx 10^{8} \mathrm{~B} / \mathrm{M}$,
Так как ток эмиссии пропорционален коэффициенту прохождения барьера, то в соответствии с формулой (29.10) зависимость плотности тока эмиссии от напряженности электрического поля должна иметь вид
\[
j=j_{0} \exp \left(-\mathscr{E}_{0} / \mathscr{E}\right) \text {. }
\]
Такая зависимость хорошо подтверждается экспериментом.
Радиоактивный $\alpha$-распад. Из опыта известно, что многие тяжелые элементы самопроизвольно испускают $\alpha$-частицы, т.е. ядра гелия, имеющие заряд $2 e$ и массу, примерно в четыре раза больную, чем масса протона.
Вылетев из ядра, $\alpha$-частицы ускоряются кулоновским полем ядра.
Закон $\alpha$-распада определяется тем, что с точки зрения внешних условий он происходит самопроизвольно. Число $\mathrm{d} N$ распавшихся атомов в течение промежутка времени $\mathrm{d} t$ пропорционально этому промежутку и числу атомов $N$, которые могут испытать распад:
$\mathrm{d} N=-\lambda N \mathrm{~d} t$.
Коэффициент пропорциональности $\lambda$ называется постоянной распада. Интегрирование уравнения (29.11) приводит к формуле
\[
N(t)=N_{0} \mathrm{e}^{-\lambda t},
\]
где $N_{0}$-число радиоактивных атомов в момент $t=0 ; N(t)$-число радиоактивных атомов, не испытавших распада к моменту времени $t$. Величина $\lambda$ у различных радиоактивных элементов изменяется в очень значительных пределах от $10^{6} \mathrm{c}^{-1}$ до $10^{18} \mathrm{c}^{-1}$. Объяснение такого большого разброса в числовом значении $\lambda$-наиболее трудная задача теории.
Вторым трудным вопросом является вопрос об энергии $\alpha$-частиц, вылетающих из ядра в результате радиоактивного распада. Не ясно, почему эта энергия сравнительно мала. Опыты Резерфорда по бомбардировке $\alpha$-частицами ядер радиоактивных элементов показали, что $\alpha$-частицы могут приближаться к ядру на очень малые расстояния, которые зависят от энергии $\alpha$-частиц. В момент максимального сближения вся кинетическая энергия $\alpha$-частицы переходит в ее потенциальную энергию. После этого $\alpha$-частица силами кулоновского отталкивания снова разгоняется и приобретает кинетическую энергию, примерно равную первоначальной. В
62
Изменение потенциальной энергии в объасти ядра
момент максимального сближения $\alpha$-частицы и ядра захват $\alpha$-частицы и изменение ядра не происходит; это означает, что $\alpha$-частица находится вне ядра. Отсюда можно зақлючить, что при радиоактивном распаде $\alpha$-частицы вылетают из ядра с расстояний от центра ядра меньших, чем расстояние между ядром и бомбардирующей ядро $\alpha$-частицей. Поэтому кулоновские силы отталкивания должны ускорять $\alpha$-частицу, образовавшуюся в результате радиоактивного распада, сильнее, чем $\alpha$-частицу, которая при бомбардировке приблизилась к ядру. Следовательно, энергия $\alpha$-частиц, образовавшихся в результате радиоактивного распада, должна быть больше энергии $\alpha$-частиц, которыми бомбардируется ядро, если эта бомбардировка не сопровождается захватом $\alpha$-частиц и изменением ядра. Однако опыт показывает, что это не так. В действительности энергия $\alpha$-частиц, являющихся продуктом радиоактивного распада, значительно меньше той, которую можно было бы ожидать на основании только что изложенных соображений. Дело обстоит так, что как будто бы $\alpha$-частица начинает ускоряться кулоновским полем отталкивания ядра с больших расстояний, чем размеры ядра. Это обстоятельство нельзя понять в рамках классических представлений.
Радиоактивный $\alpha$-распад нашел свое объяснение в туннельном эффекте. Потенциальная энергия положительно заряженной $\alpha$-частицы в поле положительно заряженного ядра является положительной и возрастает обратно пропорционально расстоянию от ядра при уменьшении этого расстояния (рис. 62). Если бы, кроме сил кулоновского отталкивания, никаких других сил не существовало, то частица не смогла бы удержаться в ядре. Однако при некотором малом расстоянии в действие вступают болшие ядерные силы притяжения, которые удерживают $\alpha$-частицу в ядре. Эти ядерные силы притяжения резко уменьшают потенциальную энергию (притяжение!), в результате чего в области, имеющей размеры ядра, для $\alpha$-частицы образуется потенциальная яма, которая от внешнего пространства отделена потенциальным барьером. По классической механике, покинуть ядро могут только те $\alpha$-частицы, энергия которых больше высоты потенциального барьера. Однако эксперименты по бомбардировке ядер показывают, что энергия $\alpha$-частиц, вылетающих из ядра, меньше высоты потенциального барьера. Следовательно, $\alpha$-частицы, вылетающие из ядра, проникают через потенциальный барьер посредством туннельного эффекта.
Найдем связь между постоянной распада $\lambda$ и коэффициентом прохождения $D$. Двигаясь в ядре, $\alpha$-частица сталкивается со стенками потенциального барьера. Вероятность проникнуть через потенциальный барьер при одном столкновении равна $D$. В еди-
ницу времени, очевидно, число столкновений равно $n=v /(2 r)$, где $v$-скорость $\alpha$-частиц в ядре, $r$ – радиус ядра. Если общее число атомов есть $N$, то число атомов $\mathrm{d} N$, испытавших $\alpha$-распад в результате проникновений $\alpha$-частиц через потенциальные барьеры в течение времени $\mathrm{d} t$, равно
$\mathrm{d} N=-N n D \mathrm{~d} t$.
Тогда
$\lambda=v D /(2 r)=\left[v D_{0} /(2 r)\right] \exp (-I)$,
где
$I=\frac{2}{\hbar} \int_{r_{0}}^{r_{1}} \sqrt{2 m\left[E_{n}(r)-E\right]} \mathrm{d} r$.
Величина $r_{1}$ находится из условия
$E_{\mathrm{n}}\left(r_{1}\right)=2 Z e^{2} / r_{1}=E$,
T. e.
$r_{1}=2 Z e^{2} / E$.
Учитывая, что $r_{0} \ll r_{1}$, при вычислении интеграла величину $r_{0}$ можно заменить нулем, тогда
$I=\left[(8 m E)^{1 / 2} / \hbar\right] \int_{0}^{2 Z e^{2} / E} \sqrt{2 Z e^{2} /(E r)-1} \mathrm{~d} r$.
Полагая $\left(2 Z e^{2} / E\right) \sin ^{2} x=r$, находим $I=\left[(8 m E)^{1 / 2} / \hbar\right]\left(4 Z e^{2} / E\right) \int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x=$ $=\left[\pi(8 m)^{1 / 2} / \hbar\right] Z e^{2} / \sqrt{E}$.
В результате вылета из ядра $\alpha$-частицы заряд в ядре уменьшается на два элементарных заряда, а число частиц в ядре уменьшается на два протона и два нейтрона, которые входят в состав $\alpha$-частицы и улетают вместе с ней. В результате $\alpha$-распада образуется новое ядро, которое, в свою очередь, может быть радиоактивным. Совокупность ядер, образующихся друг из друга в результате $\alpha$-распада, образует семейство ядер.
Пусть $E_{0}$-энергия вылета $\alpha$-частицы из ядра, являющегося родоначальником семейства, и $E=E_{0}+$ $+\Delta E$-энергия вылета $\alpha$-частицы из какого-либо ядра семейства. Как показывает эксперимент, энергия $\alpha$-частиц у различных ядер семейства изменяется мало по сравнению с энергией $\alpha$-частиц. Это означает, что $\Delta E \ll E_{0}$ и, следовательно,
$E^{-1 / 2}=\left(E_{0}+\Delta E\right)^{-1 / 2} \approx$
$\approx E_{0}^{1 / 2}\left[1-\Delta E /\left(2 E_{0}\right)\right]$.
Из (29.13) с учетом (29.14) следует, что
$\ln \lambda=\ln [v D /(2 r)]-2 \pi \sqrt{2 m} Z e^{2} /\left(\hbar \sqrt{E_{0}}\right)+$ $+\pi \sqrt{2 m} Z e^{2} \Delta E /\left(\hbar E_{0}^{3 / 2}\right)$,
T. e.
$\ln \lambda=a+b \Delta E$,
где
$a=\ln [v D /(2 r)]-$
$-2 \pi \sqrt{2 m} Z e^{2} /\left(\hbar \sqrt{E_{0}}\right) \approx$ const,
$b=\pi \sqrt{2 m} Z e^{2} /\left(\hbar E_{0}^{3 / 2}\right) \approx$ const.
Формула (29.15) выражает установленный экспериментально закон Гейгера-Нэттола о линейной зависимости логарифма постоянной распада от разницы в энергиях вылета $\alpha$-частиц. Эта формула хорошо объясняет сильное различие постоянных распада у различных радиоактивных ядер семейства: хотя величины $a$, $b, \Delta E$ от ядра к ядру изменяются не очень сильно, величина $\lambda$, стоящая под знаком логарифма, изменяется значительно.
Количественные измерения показывают, что объяснение $\alpha$-распада с помощью туннельного эффекта хорошо согласуется с экспериментом.
