4. Тождество Капелли

Мы показали в предыдущем параграфе, что целый рациональный базис для инвариантов симметрической группы, зависящих от одного векторного аргумента, путем полной поляризации превращается в целый рациональный базис для инвариантов, зависящих от произвольного числа векторных аргументов. Однако дело обстит определенно не так, если речь идет о произвольной линейной группе Замечательно, что тем не менее целый рациональный базис для инвариантов, зависящих от аргументов, где порядок группы все же дает путем полной поляризации базис для аргументов. Для доказательства этого нам понадобится один мощный формальный инструмент — тождество Капелли. Оно относится к результату последовательных поляризаций.

Пусть ряд независимых (ковариантных или контравариантных) векторов в -мерном векторном пространстве и те же векторы, взятые в (том же или) другом порядке. Символы равно как и будут обозначать поляризацию. Подвергая форму нескольким

последовательным поляризациям и предполагая, что х не совпадает ни с , ни с не совпадает с мы получим

Выражение, стоящее в правой части, независимо от наличия или отсутствия указанных совпадений, мы будем записывать, употребляя вместо композиции символов композицию вспомогательных символов

Подсчитаем, насколько отличается композиция от этой "псевдокомпозиции". Введем для этой цели символ определенный формулой

Тогда из наших определений непосредственно получим:

Нас будет особенно интересовать знакопеременная сумма

распространенная на подстановок символов Индивидуальные члены в разложении этого операторного определителя следует писать так, чтобы множители располагались слева направо, как они стоят в самом определителе: первый множитель из первого столбца, второй множитель из второго столбца и т. д.; этого же правила мы будем придерживаться и во всем дальнейшем. Выполнив в (4.1) альтернирование, мы можем

обменять местами во втором члене справа и в третьем, изменив знаки этих членов. Мы получим, таким образом,

или

С помощью операторных определителей этот результат можно записать в форме

понимая под этим равенство соответственных миноров третьего порядка.

Этому равенству для трех последовательных поляризаций предшествуют получаемые аналогичным образом равенства для одной или двух таких операций:

Распространение на четыре и большее число последовательных поляризаций очевидно. Применяя сначала к последним двум столбцам левой части соотношения а затем к последнему столбцу, мы получим основное равенство, вывод которого был нашей целью:

Аналогично для независимых векторов вместо трех получим

(Приношу извинения за то, что пробегаются снизу вверх и спереди назад; это — следствие скверной привычки читать операторы справа налево.)

Операторный определитель в правой части преобразует в

где внутренняя сумма распространена знакопеременно на все перестановки векторов Эта сумма равна нулю, если не все индексов различны. Так как последнее невозможно при то результат в этом случае равен нулю. При внутренняя сумма равна или смотря по тому, представляет ли ряд четную нечетную перестановку чисел либо содержит одинаковые индексы; символ означает здесь компонетный определитель

инвариантный относительно унимодулярной группы с исторической точки зрения интересно отметить, что именно от этого частного инварианта началось все развитие теории инвариантов. Таким образом, при мы получаем в правой части

где образуется из посредством так называемого Q-процесса Кэли:

сумма здесь распространена знакопеременно на все перестановки номеров

Итак, мы пришли к тождеству Капелли. В его окончательной форме обозначения можно заменить более педантичными а символы

Теорема

Случаи этой формулы мы назовем, соответственно, общим и специальным тождествами Капелли.