Главная > Классические группы. Их инварианты и представления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

10. Обобщение

Простейшие аксиомы проективной геометрии (включая аксиомы порядка и непрерывности) показывают, что проективное -мерное пространство изоморфно следующей алгебраической модели: каждое отношение чисел заданного поля

(за исключением представляет точку; прямая линия, соединяющая две различных точки задается параметрическим представлением

(где пробегает все пары из k за исключением ). Для того чтобы поле было коммутативным, следует допустить в качестве аксиомы также некий частный случай теоремы Паскаля. Невырожденное линейное преобразование

представляет коллинеацию, т. е. отображение при котором точки, лежащие на прямой линии, переходят снова в точки, лежащие на прямой линии. Возникает вопрос, является ли это наиболее общей коллинеацией. Все геометры считали, что ответ должен быть утвердительным, и это формулировалось как так называемая основная теорема проективной геометрии: каждая коллинеация, оставляющая неизменной проективную систему координат, есть тождество. При этом проективная система координат состоит из вершин

и "единичной точки"

Приведенное утверждение действительно справедливо, если есть поле вещественных чисел, однако уже неверно для общего k (неверно даже тогда, когда есть континуум всех комплексных чисел, в котором действует классическая алгебраическая геометрия). Действительно, любой автоморфизм поля порождает коллинеацию сохраняющую неизменной систему координат. (Автоморфизм поля есть взаимно однозначное отображение а этого поля на себя, не нарушающее фундаментальных операций и X:

и потому, в частности, переводящее в и 1 в 1.) Основная теорема проективной геометрии в форме, годной при любом поле утверждает просто, что каждая коллинеация, сохраняющая систему координат, является в этом смысле автоморфизмом поля Доказательство основывается на том факте, что понятия числа из и сложения и умножения в определяются геометрически в терминах фундаментальных понятий, входящих в проективные геометрические аксиомы. Наиболее общая коллинеация есть комбинация автоморфизма и линейной подстановки (10.1):

В сравнении с этими "полулинейными подстановками, линейные подстановки в собственном смысле, хотя и не вынужденные к полному отречению от престола, играют лишь второстепенную роль: они представляют проективножи. Две -мерные гиперплоскости, вложенные в проективное -мерное пространство, можно отобразить одну на другую с помощью перспективы (центральной проекции). Проективность осуществляется любой цепью перспектив, возвращающейся в конце концов к исходной гиперплоскости и тем самым производящей некоторое коллмиеарное отображение этой плоскости на себя; и именно этот тип коллинеации, реализуемый цепью перспектив в проективном пространстве большего числа измерений, соответствует линейным подстановкам без автоморфизмов.

В силу указанных обстоятельств представляется естественным обобщить теорию представлений конечной группы у так, чтобы включить полулинейные преобразования. Поэтому мы примем, что с каждым элементом заданной конечной группы у

сопоставлен автоморфизм поля обозначаемый через причем

Все представления, которые мы собираемся исследовать, основаны на этом соответствии, заданном раз навсегда; индивидуальное представление степени представляет полулинейным оператором следующего типа:

Закон композиции читается теперь так:

Пользуясь для (10.3) снова сокращенной записью мы относим величине из группового кольца оператор

Если умножение кольцевых элементов а следует способу компонирования соответствующих операторов а, то должно задаваться формулой

Этот закон определяет модифицированное групповое кольцо зависящее от того, какие автоморфизмы отнесены групповым элементам

Операторы (10.4), соответствующие всем величинам а из этого группового кольца, образуют алгебру которую мы, правда, не решились бы назвать матричной алгеброй. Все обыкновенные линейные преобразования

перестановочные с операторами образуют множество матриц, которое мы снова назовем коммутаторной алгеброй, хотя это и не есть алгебра в строгрм смысле, по крайней мере — не над замкнуто относительно матричного сложения и умножения; однако, в принадлежности (а — число, мы можем быть уверены лишь, если а есть самосопряженное число из т. е. число, удовлетворяющее условию для всех рассматриваемых автоморфизмов

Самосопряженные числа образуют подполе над которым является относительным полем конечной степени автоморфизмы образуют группу Галуа поля над есть алгебра над и для многих целей было бы удобнее рассматривать в качестве основного поля не Если воспользоваться базисом поля над то операторы из обратятся в обыкновенные линейные операторы над порядка

Каковы бы ни были достоинства этой точки зрения, нет никакой нужды в том, чтобы принять ее, собираясь перенести теорию, изложенную в разделе В этой главы, на полулинейный случай. Все результаты остаются в полной силе, доказательства же требуют лишь тривиальных видоизменений. Операция а должна теперь определяться формулой

Что же касается следа, то форма не будет уже симметричной, и (7.11) заменится на

Во всем дальнейшем нам нигде не встретится случая прибегнуть к полулинейным преобразованиям. Тем не менее три причины побудили нас упомянуть это обобщение: во-первых, потому что это не стоило нам почти никакого труда; во-вторых, указанное обобщение, повидимому, доставляет естественную область применения метода (II); и, наконец, в-третьих, потому что полулинейные преобразования выдвинулись на первый план в ряде современных исследований в различных областях алгебры

1
Оглавление
email@scask.ru