10. Обобщение

Простейшие аксиомы проективной геометрии (включая аксиомы порядка и непрерывности) показывают, что проективное -мерное пространство изоморфно следующей алгебраической модели: каждое отношение чисел заданного поля

(за исключением представляет точку; прямая линия, соединяющая две различных точки задается параметрическим представлением

(где пробегает все пары из k за исключением ). Для того чтобы поле было коммутативным, следует допустить в качестве аксиомы также некий частный случай теоремы Паскаля. Невырожденное линейное преобразование

представляет коллинеацию, т. е. отображение при котором точки, лежащие на прямой линии, переходят снова в точки, лежащие на прямой линии. Возникает вопрос, является ли это наиболее общей коллинеацией. Все геометры считали, что ответ должен быть утвердительным, и это формулировалось как так называемая основная теорема проективной геометрии: каждая коллинеация, оставляющая неизменной проективную систему координат, есть тождество. При этом проективная система координат состоит из вершин

и "единичной точки"

Приведенное утверждение действительно справедливо, если есть поле вещественных чисел, однако уже неверно для общего k (неверно даже тогда, когда есть континуум всех комплексных чисел, в котором действует классическая алгебраическая геометрия). Действительно, любой автоморфизм поля порождает коллинеацию сохраняющую неизменной систему координат. (Автоморфизм поля есть взаимно однозначное отображение а этого поля на себя, не нарушающее фундаментальных операций и X:

и потому, в частности, переводящее в и 1 в 1.) Основная теорема проективной геометрии в форме, годной при любом поле утверждает просто, что каждая коллинеация, сохраняющая систему координат, является в этом смысле автоморфизмом поля Доказательство основывается на том факте, что понятия числа из и сложения и умножения в определяются геометрически в терминах фундаментальных понятий, входящих в проективные геометрические аксиомы. Наиболее общая коллинеация есть комбинация автоморфизма и линейной подстановки (10.1):

В сравнении с этими "полулинейными подстановками, линейные подстановки в собственном смысле, хотя и не вынужденные к полному отречению от престола, играют лишь второстепенную роль: они представляют проективножи. Две -мерные гиперплоскости, вложенные в проективное -мерное пространство, можно отобразить одну на другую с помощью перспективы (центральной проекции). Проективность осуществляется любой цепью перспектив, возвращающейся в конце концов к исходной гиперплоскости и тем самым производящей некоторое коллмиеарное отображение этой плоскости на себя; и именно этот тип коллинеации, реализуемый цепью перспектив в проективном пространстве большего числа измерений, соответствует линейным подстановкам без автоморфизмов.

В силу указанных обстоятельств представляется естественным обобщить теорию представлений конечной группы у так, чтобы включить полулинейные преобразования. Поэтому мы примем, что с каждым элементом заданной конечной группы у

сопоставлен автоморфизм поля обозначаемый через причем

Все представления, которые мы собираемся исследовать, основаны на этом соответствии, заданном раз навсегда; индивидуальное представление степени представляет полулинейным оператором следующего типа:

Закон композиции читается теперь так:

Пользуясь для (10.3) снова сокращенной записью мы относим величине из группового кольца оператор

Если умножение кольцевых элементов а следует способу компонирования соответствующих операторов а, то должно задаваться формулой

Этот закон определяет модифицированное групповое кольцо зависящее от того, какие автоморфизмы отнесены групповым элементам

Операторы (10.4), соответствующие всем величинам а из этого группового кольца, образуют алгебру которую мы, правда, не решились бы назвать матричной алгеброй. Все обыкновенные линейные преобразования

перестановочные с операторами образуют множество матриц, которое мы снова назовем коммутаторной алгеброй, хотя это и не есть алгебра в строгрм смысле, по крайней мере — не над замкнуто относительно матричного сложения и умножения; однако, в принадлежности (а — число, мы можем быть уверены лишь, если а есть самосопряженное число из т. е. число, удовлетворяющее условию для всех рассматриваемых автоморфизмов

Самосопряженные числа образуют подполе над которым является относительным полем конечной степени автоморфизмы образуют группу Галуа поля над есть алгебра над и для многих целей было бы удобнее рассматривать в качестве основного поля не Если воспользоваться базисом поля над то операторы из обратятся в обыкновенные линейные операторы над порядка

Каковы бы ни были достоинства этой точки зрения, нет никакой нужды в том, чтобы принять ее, собираясь перенести теорию, изложенную в разделе В этой главы, на полулинейный случай. Все результаты остаются в полной силе, доказательства же требуют лишь тривиальных видоизменений. Операция а должна теперь определяться формулой

Что же касается следа, то форма не будет уже симметричной, и (7.11) заменится на

Во всем дальнейшем нам нигде не встретится случая прибегнуть к полулинейным преобразованиям. Тем не менее три причины побудили нас упомянуть это обобщение: во-первых, потому что это не стоило нам почти никакого труда; во-вторых, указанное обобщение, повидимому, доставляет естественную область применения метода (II); и, наконец, в-третьих, потому что полулинейные преобразования выдвинулись на первый план в ряде современных исследований в различных областях алгебры