7. Полная приводимость группового кольца

Во исполнение программы, намеченной в последнем параграфе, прежде всего докажем, что регулярное представление группового кольца х вполне приводимо .

Теорема Инвариантное подпространство пространства обладает идемпотентным производящим элементом т. е. лежит в для каждого для каждого х из .

Из этой теоремы, в частности, следует, что содержится в а и потому ее

Линейное преобразование переводящее каждый "вектор" х в некоторый вектор из и оставляющее векторы х

из о неизменными, мы будем, естественно, называть проектированием . Такое проектирование на произвольное линейное подпространство а размерности строится достаточно просто: беря какую-нибудь систему координат приуроченную к подпространству а, полагаем по определению

Нам нужно, доказать существование проектирования специального вида

в предположении, что а — инвариантное подпространство. Мы начнем с произвольного проектирования

Вследствие инвариантности подпространства а, формула

снова определяет некоторое проектирование какой бы элемент группы ни взять в качестве это проектирование записывается в явном виде так:

или

Образовав "среднее" всех наших проектирований

мы снова получим проектирование; его матрица удовлетворяет соотношению

и потому имеет вид Следовательно, наше новое проектирование и есть проектирование требуемого вида,

Теорема Инвариантное подпространство в, содержащее инвариантное подпространство можно

расщепить на и дополнительное инвариантное подпространство

Доказательство следует схеме, уже использованной в доказательстве теоремы Пусть производящий идемпотент подпространства , для которых образуют инвариантное подпространство , для которых образуют также инвариантное подпространство а. Разложение Пирса дает

Если инвариантное подпространство разложено на несколько линейно независимых инвариантных подпространств,

то имеем для каждого элемента х из единственное разложение

в частности, для производящего идемпотента подпространства имеем

Из (7.2) следует, что, для любого х из а,

Так как (как и в силу инвариантности подпространства лежит в совпадает с разложением (7.1), которое, таким образом, оказывается непосредственным следствием разложения (7.2). Применяя наше замечание к видим, что если

Такие величины будем называть взаимно нормальными идем патентами. Идемпотент неразложим или примитивен, если он не допускает никакого разложения на два взаимно нормальных идемпотента кроме тривиальных разложений Производя расщепление, пока, это будет возможно, мы придем в конце концов к расщеплению заданного идемпотента на взаимно нормальные примитивные идемпотенты. Действительно, если допускает дальнейшее расщепление,

то для имеем

поэтому последовательность снова состоит из взаимно нормальных идемпотентов. Наш анализ показывает, что разложение единицы 1 на взаимно нормальные примитивные идемпотенты приводит к расщеплению всего на неприводимые инвариантные подпространства.

Обратимся теперь к ситуации, к которой относилась лемма , с тем, чтобы выяснить общую идею подобия или эквивалентности. Мы имеем два множества матриц, связанных некоторым соответствием с параметром а, пробегающим какое-то абстрактное множество. суть два векторных пространства размерностей векторы которых подвергаются соответственно преобразованиям Под равенствами Для векторов из из понимается, что Пусть инвариантные подпространства, соответственно, в Линейное отображение сопоставляющее произвольному вектору из некоторый вектор 5, из называется отображением подобия на , если оно переводит (для любого и подобны или эквивалентны, если существует взаимно однозначное отображение подобия на . В частности, и могут быть подпространствами одного и того же векторного пространства являющегося полем действия совокупности преобразований

Теорема Отображение подобия инвариантного подпространства на а порождается умножением справа на некоторое

Доказательство. Обозначим через величину, в которую переводится отображением производящий идемпотент подпространства а. Так как отображение подобия, то оно будет переводить каково бы ни было но если х принадлежит а. — Это предложение и его доказательство представляют собой незначительную модификацию утверждения и доказательства теоремы

По общей формуле образом будет поэтому построенное здесь удовлетворяет соотношению и кроме того, как величина из удовлетворяет еще соотношению где производящий идемпотент подпространства а. Рассмотрим тот частный случай, когда и о эквивалентны и,

значит, отображаются друг на друга с помощью взаимно однозначного соответствия подобия Это соответствие будет в одну сторону порождаться величиной удовлетворяющей указанным выше соотношениям, а в другую сторону — величиной а:

удовлетворяющей аналогичным уравнениям:

переводится прямым отображением в а последнее — обратным отображением в следовательно,

Обратно, если заданные идемпотенты и удовлетворяют уравнениям (7.5), (7.6), то формулы

устанавливают взаимно однозначные отображения инвариантных подпространств а, а, порожденных соответственно идемпотентами друг на друга.

То, что мы несколько небрежно назвали инвариантными подпространствами, было бы, пожалуй, более точно назвать левыми инвариантными подпространствами, потому что операциями, относительно которых определена здесь инвариантность, являются левые умножения (а): на элементы а из нашего кольца. Подпространство, инвариантное относительно правых умножений (а): заслуживает наименования правого инвариантного подпространства. Тогда как первое имеет производящий идемпотент справа, в том смысле, что оно состоит из всех величин вида последнее будет иметь производящий идемпотент слева. Доказательство можно было бы провести тем же способом. Однако существует общий метод свободного перехода слева направо. Если определить формулой

то имеет место следующая лемма:

Лемма Из следует Таким образом, покрытие "крышками" переводит нашу алгебру в "инверсную" алгебру Если инвариантные подпространства, порожденные идемпотентами эквивалентны, то это же верно и для действительно, уравнения (7.5). (7.6)

показывают, что связаны друг с другом с помощью величин тем же способом, как с помощью величин Поэтому представление, индуцируемое регулярным представлением в а, в смысле эквивалентности, однозначно определено представлением, индуцируемым в ; здесь , а обозначают подпространства, порожденные, соответственно, идемпотентами Вопрос о природе этого сопряжения разрешается следующей теоремой.

Теорема (III. Представления, индуцируемые регулярным представлением в , контрагредиентны друг другу.

Доказательство основывается на понятии следа: следом (английское величины называется ее единичная компонента а След произведения двух переменных величин,

есть симметричная билинейная невырожденная форма в при заданном а уравнение не может тождественно удовлетворяться всеми х за исключением того случая, когда

Сравним левое и правое инвариантные подпространства а и X, состоящие соответственно из величин Мы утверждаем, что форма не вырождается, когда х и у изменяются соответственно в Действительно, для произвольного элемента и элемента а из а имеем

где принадлежит Поэтому предположение для всех у из влечет за собой, что для всех вообще откуда Аналогично доказывается наше утверждение и для второго множителя. Отнесем теперь к координатным системам так, что

пробегают соответственно когда числа независимо пробегают Из невырожденности формы для выражений (7.8) легко следует совпадение размерностей подпространств и возможность приурочить систему координат произвольно выбранной системе координат в а так, чтобы

Когда у изменяется в х, у принимает значения из в. Одновременное выполнение подстановок

или

оставляет (7.9) неизменным:

Следовательно, будучи выражены в выбранных системах координат, подстановки (7.10) контрагредиентны.

Наше последнее замечание будет относиться к характеру представления, индуцированного в а регулярным представлением группового кольца х. Надо вычислить след линейной подстановки

Если мы приурочим систему координат к -мерному подпространству а, то сразу увидим, что подстановка

имеет матрицу

где левый верхний квадрат занят матрицей подстановки (7.12). Это позволяет вычислить след подстановки (7.12) или

который оказывается равным

Отсюда, переставляя буквы имеем

Функцию называют функцией классов, если для элементов одного и того же класса, т. е. сопряженных

элементов, как она принимает одинаковые значения:

В этом смысле характер любого представления является функцией классов, поскольку

имеет тот же след, что Формула (7.14) делает это очевидным для наших представлений, содержащихся в регулярном. есть функция классов в том и только в том случае, когда величина а принадлежит центру группового кольца. Действительно, из или

обратно следует (7.15),

если приравнять коэффициенты в обеих частях формулы (7.16),