8. Метод присоединения

Рассмотрим групповую характеристику -мерной аффинной геометрии:

где единственным ограничением, наложенным на является равенство

однородные координаты точки. Аффинная геометрия получается из проективной с полной унимодулярной группой путем присоединения "бесконечно удаленной плоскости"

в качестве абсолюта. Аффинное свойство геометричёской системы есть ее проективное отношение к абсолютной плоскости. Это подсказывает способ образования аффинных инвариантов

основных форм присоединяем к основным формам произвольную линейную форму

и строим проективные инварианты для системы тогда очевидно, является абсолютным инвариантом относительно аффинной группы (8.1). Возникает вопрос, все ли аффинные инварианты получаются таким путем. Тогда мы были бы вправе, поскольку это касается инвариантов, рассматривать аффинное пространство как проективное пространство с абсолютной плоскостью

Утвердительный ответ на вопрос легко получается путем комбинирования символического метода с построением целого рационального базиса типовых векторных инвариантов для аффинной группы, выполненным в § 7 главы И. Заданный аффинный инвариант сперва заменяется его символическим выражением, аффинным инвариантом зависящим от группы ковариантных векторов и, выражается через компонентные определители

Вводим произвольную линейную форму (8.2) и заменяем в этом выражении для каждый компонентный определитель

тем самым превращая аффинный инвариант в проективный инвариант Затем возвращаемся к несимволическому выражению, что возможно, поскольку так же как и имеет правильные степени по всем аргументам и, (равные степеням основных форм Таким образом мы получаем проективный инвариант для которого

В § 7 главы II мы обобщили аффинную группу на случай, когда абсолютом служит линейное многообразие не или или измерений. Рассмотрим случай размерности

мерное линейное многообразие является пересечением двух плоскостей I и Г:

и имеет антисимметричные координаты

Одномерная прямая соединяющая две точки пересекает если

Для произвольного антисимметричного (ковариантного) тензора ранга 2 это уравнение определяет комплекс прямых. "Специальные" комплексы прямых описываемые формулой (8.3), удовлетворяют квадратичным соотношениям

(где 1, 2, 3, 4 можно заменить любой четверкой из индексов Для интересующей нас группы абсолют является таким специальным комплексом прямых с

или

Символическое выражение инвариантов для этой группы будет кроме полного компонентного определителя включать компонентный определитель Мы заменим последний знакопеременной суммой

распространенной на все перестановки индексов которая проективно инвариантна и при специализации (8.5) обращается снова в Результатом будет, что инвариант от нескольких основных форм в аффинном пространстве «ранга получается путем специализации (8.5) из проективного инварианта, включающего, кроме заданной системы основных форм, произвольный

антисимметричный тензор ранга 2 (т. е. комплекс прямых). Что мы хотим в этом случае подчеркнуть, это — то обстоятельство, что в качестве нового аргумента в инварианты приходится ввести произвольный комплекс прямых; нельзя удовлетворяться произвольным специальным комплексом прямых, хотя характеризующие его условия (8.4) и проективно инвариантны.

Если основные формы содержат как греческие, так и латинские переменные, то список типовых базисных векторных инвариантов следует дополнить греческим компонентным определителем и тензором который мы заменим на показывает эта замена, основной результат остается в силе.

Тот же метод присоединения применим и к важному случаю ортогональной группы. Благодаря теории относительности получила широкую известность трактовка ортогональных векторных инвариантов как аффинных векторных инвариантов после присоединения метрической основной формы

обращающейся в декартовой системе координат в единичную форму

Проведенные выше рассмотрения дают обоснование этого способа, если заметить, что любой (четный или нечетный) ортогональный векторный инвариант выражается через компонентные определители и скалярные произведения Первые инвариантны относительно полной линейной группы, и то же верно для скалярных произведений, если записывать их в виде

и считать зависящими не только от пары ковариантных векторов х и у, но и от произвольной (контравариантной!) квадратичной формы (8.6). Инварианты форм для ортогональной группы получаются из инвариантов форм для полной линейной группы путем присоединения сперва к системе основных форм контравариантной квадратичной формы (8.6), а затем специализации (8.7). При желании обойтись без введения контравариантной квадратичной формы (8.6), можно прибегнуть взамен к ковариантной квадратичной форме

и затем заменить скалярное произведение проективным инвариантом

[(8.10) есть произведение на (8.6), где — матрица, обратная к

Аналогично и для симплектической группы. В каждом случае существование конечного целого рационального базиса устанав» ливается применением теоремы Замена основных форм любыми обобщенными величинами относительно полной линейной группы не представляет никакого труда. Суммирую:

Теорема (VIII. 8. А). Для группы ступенчатых преобразований, ортогональной группы и симплектической группыкаждый инвариант где обобщенные величины, определенные относительно группы может быть после присоединения к аргументам надлежащего "абсолюта" записан как инвариант относительно группы

Я не хочу умалять это триумфальное достижение символического метода. Однако, в отношении первой основной теоремы, положение дел, устанавливаемое нашим предложением, еще неудовлетворительно, поскольку обобщенные величины для не являются ни примитивными, ни наиболее общими величинами для рассматриваемых нами более узких групп. Я не думаю, чтобы в этом отношении можно было многое сделать в аффинном случае. В действительности представления аффинной группы не являются вполне приводимыми и это почти непоправимо усложняет обозрение возможных величин для этой группы. Для ортогональной и симплектической групп кругозор значительно шире. Действительно, "обобщенная величина" будет здесь пробегать тензоры одного из подпространств, обозначаемых через где допустимая диаграмма. Пусть производящий идемпотент этого класса симметрии Тогда мы сперва заменяем аргумент нашего инварианта на

так что пробегает теперь все тензоры из (устранение ограничения симметрией). Всякий тензор ранга может быть однозначно разложен по теореме и первое слагаемое

с нулевыми следами получается из применением некоторого линейного оператора

инвариантного относительно ортогональной группы и перестановочного со всеми операторами из , а потому принадлежащего алгебре описанной в § 5 главы V. Очевидно, идемпотент. Второй шаг состоит в замене аргумента пробегающего все тензоры с нулевыми следами, на

теперь — ортогональный инвариант, определенный для любых тензоров ранга (устранение условия, наложенного на следы). Метод присоединения приводит тогда к проективному инварианту в котором к тензорам в качестве аргумента присоединена квадратичная форма (8.9), причем

Теорема Пусть ортогональные инварианты, зависящие от нескольких ортогональных обобщенных величин Построением целого рационального базиса для проективных инвариантов в которых каждый аргумент заменен свободным тензором соответствующего ранга и к аргументам присоединена квадратичная форма (8.9), устанавливается конечный целый рациональный базис и для инвариантов То же mutatis mutandis (с соответствующими изменениями) верно и для симплектической группы.