Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 8. Метод присоединенияРассмотрим групповую характеристику
где единственным ограничением, наложенным на
в качестве абсолюта. Аффинное свойство геометричёской системы есть ее проективное отношение к абсолютной плоскости. Это подсказывает способ образования аффинных инвариантов основных форм
и строим проективные инварианты Утвердительный ответ на
Вводим произвольную линейную форму (8.2) и заменяем в этом выражении для
тем самым превращая аффинный инвариант
В § 7 главы II мы обобщили аффинную группу на случай, когда абсолютом служит линейное многообразие не
и имеет антисимметричные координаты
Одномерная прямая
Для произвольного антисимметричного (ковариантного) тензора
(где 1, 2, 3, 4 можно заменить любой четверкой из
или
Символическое выражение
распространенной на все перестановки антисимметричный тензор Если основные формы содержат как греческие, так и латинские переменные, то список типовых базисных векторных инвариантов следует дополнить греческим компонентным определителем и тензором Тот же метод присоединения применим и к важному случаю ортогональной группы. Благодаря теории относительности получила широкую известность трактовка ортогональных векторных инвариантов как аффинных векторных инвариантов после присоединения метрической основной формы
обращающейся в декартовой системе координат в единичную форму
Проведенные выше рассмотрения дают обоснование этого способа, если заметить, что любой (четный или нечетный) ортогональный векторный инвариант выражается через компонентные определители
и считать зависящими не только от пары ковариантных векторов х и у, но и от произвольной (контравариантной!) квадратичной формы (8.6). Инварианты форм для ортогональной группы получаются из инвариантов форм для полной линейной группы путем присоединения сперва к системе основных форм контравариантной квадратичной формы (8.6), а затем специализации (8.7). При желании обойтись без введения контравариантной квадратичной формы (8.6), можно прибегнуть взамен к ковариантной квадратичной форме
и затем заменить скалярное произведение
[(8.10) есть произведение Аналогично и для симплектической группы. В каждом случае существование конечного целого рационального базиса устанав» ливается применением теоремы Теорема (VIII. 8. А). Для группы ступенчатых преобразований, ортогональной группы и симплектической группыкаждый инвариант Я не хочу умалять это триумфальное достижение символического метода. Однако, в отношении первой основной теоремы, положение дел, устанавливаемое нашим предложением, еще неудовлетворительно, поскольку обобщенные величины для
так что с нулевыми следами получается из
инвариантного относительно ортогональной группы и перестановочного со всеми операторами из
Теорема
|
1 |
Оглавление
|