ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ

1. Поля, кольца, идеалы, полиномы

Прежде чем приступать к алгебре, следует фиксировать числовое поле в котором мы будем оперировать, -это замкнутая вселенная, в пределах которой протекают все наши дейсувия. Я бы советовал читателю на первых порах мыслить себе континуумом обыкновенных вещественных или комплексных чисел. Но, вообще говоря, есть любая совокупность элементов а, называемых числами, замкнутая относительно двух бинарных операций: сложения и умножения. Сложение и умножение предполагаются коммутативными и ассоциативными. Кроме того, сложение должно допускать однозначное обращение (вычитание), т. е. существует число о, называемое нулем, такое, что

для каждого а, и для любого а существует противоположное число — а, удовлетворяющее равенству Умножение должно удовлетворять закону дистрибутивности относительно сложения:

откуда легко следует,

каково бы ни было а. Требуется тгкже, чтобы умножение допускало обращение (деление), за одним исключением, необходимо вытекающим из (1.1); а именно, существует единица или 1; удовлетворяющая для всех а равенству

и для каждого а, за исключением нуля, существует обратное число илитакое, что а При все числа а были бы, в силу (1.1) и (1.2), равны нулю; этот вырожденный случай мы раз навсегда исключим, приняв в качестве аксиомы, что

Каждое число а порождает совокупность его кратных

здесь натуральные числа 1, 2, 3, ... суть символы "мультипликаторов", а не числа рассматриваемого поля Возможны два случая: либо все кратные единицы

отличны от о, либо существует наименьшее я, для которого о. В последнем случае это должно быть простым числом Действительно, для составного числа (где ни ни не равно 1) мы имели бы

и потому либо было бы равно о, в противоречие с предположением, что наименьшее число, для которого обращается в нуль. Эти два случая различают, приписывая полю соответственно, характеристику или В поле простой характеристики -кратное каждого числа а обращается в нуль:

В поле характеристики нуль можно для любого целого образовать долю числа а, т. е. найти число удовлетворяющее уравнению Действительно, уравнение равносильно уравнению

и так как первый множитель отличен от о, то последнее уравнение разрешимо по аксиоме делимости. Вследствие Этого наше поле содержит подполе рациональных кратных единицы

последнее изоморфно полю обыкновенных рациональных чисел — и может быть отождествлено с ним. Это простейшее поле характеристики мы будем называть фундаментальным полем таким образом, сделанное выше замечание устанавливает тот факт, что каждое поле характеристики О содержит фундаментальное поле х.

Всюду в дальнейшем мы будем предполагать положенное в основу поле полем характеристики 0, не напоминая в каждом случае этого ограничения. Ни одну из наших проблем мы не будем рассматривать в поле простой характеристики. Таким образом, даже употребляя выражение "в любом поле" или что-нибудь в этом роде, мы будем всегда подразумевать: "в любом поле характеристики

Отбросив аксиому существования обратного числа мы вместо поля придем к общему понятию кольца; лишь сложение, вычитание и умножение возможны в кольце без всяких ограничений. Классическим примером кольца служит совокупность всех целых чисел. Если произведение двух элементов кольца никогда не обращается в нуль без обращения в нуль хотя бы одного из сомножителей, то говорят, что это кольцо без делателей нуля. Исходя из заданного кольца без делителей нуля, мы можем формально ввести дроби у как пары элементов из которых и затем определить равенство, сложение и умножение дробей согласно правилам, которым все мы учились в школе. Дроби образуют поле, поле отношений кольца оно содержит если отождествлять дроби .

По отношению к заданному кольцу множество а его элементов называется идеалом, если

содержатся в а для любых а, из а и любого X из Тот случай, когда а состоит из одного лишь элемента 0, исключается по определению. Классический пример доставляется совокупностью целочисленных кратных заданного целого числа. Идеалы служат в качестве модулей для сравнений-.

означает, что разность элементов из содержится в а. Конечное число элементов идеала а образует

его базис, если каждый элемент а из а может быть представлен в виде

а есть тогда идеал с базисом В поле существует только один идеал — само это поле. Действительно, если а есть число из заданного идеала а, то последний содержит все числа вида а следовательно, и всякое число вообще: В кольце обыкновенных целых чисел каждый идеал является главным идеалом а есть простой идеал, если сравнение

имеет место лишь в том случае, когда один из множителей

Формальное выражение

содержащее "неизвестную (или переменную) х, и имеющее в качестве коэффициентов а, числа из поля называется полиномом от х формальной степени Если то есть истинная степень; является единственным полиномом, не имеющим истинной степени. Каждому известно, как складывать и перемножать полиномы; они образуют кольцо без делителей нуля. Действительно, если а — полином истинной степени и полином истинной степени :

то

имеет истинную степень ибо Ясно, что это предложение останется в силе, если коэффициенты брать не из поля, а из любого кольца без делителей нуля. Это дает возможность перейти к полиномам от нового неизвестного у с коэффициентами, взятыми из или, что то же самое, — к -полиномам от двух неизвестных х, у,, и т. д. -полиномы. от нескольких неизвестных х, у,... образуют кольцо без делителей нуля.

В заданном полиноме от неизвестных можно произвести подстановку

С помощью определенных полиномов от некоторых других неизвестных х, у, в результате получится полином от

В частности, вместо "аргументов" можно подставить в числа получающееся в результате число называется значением полинома при значениях аргументов

а есть корень полинома от х, если Полином степени имеет, самое большее, различных корней; это устанавливается хорошо известным способом, путем: доказательства того, что содержит множители если различные его корни. Это показывает, что полином не может обращаться в нуль для каждого значения х из если только поле характеристики 0, потому что такое поле содержит бесконечное множество чисел. Можно найти даже рациональное значение х, для которого значение Индукция по числу неизвестных позволяет обобщить это предложение на полиномы с любым числом аргументов. Если

— -полиномы, отличные от нуля, то произведение их также поэтому наше утверждение можно усилить следующим образом:

Лемма (I. 1. А). (Принцип несущественности алгебраических неравенств.) -полином тождественно равен нулю, если он обращается в нуль для всех систем рациональных значений удовлетворяющих конечному числу алгебраических неравенств

От кольца -полиномов от можно перейти к полю рациональных функций от над образуя поле отношений для

Производная полинома вводится как коэффициент при в разложении как полинома от

Известные формальные свойства производной являются непосредственными следствиями этого определения. Можно было бы

перефразировать определение (1.3) следующим образом: существует полином удовлетворяющий тождеству

есть Тогда как в дифференциальном исчислении однозначная определенность производной обеспечивается требованием непрерывности при алгебра достигает того же требованием, чтобы было полиномом. Производной от

служит

Поэтому единственными полиномами над полем характеристики 0, имеющими производную являются константы:

Для полинома от переменных можно, аналогично разложению (1.3), образовать разложение

Коэффициент при в этом разложении по степеням называется поляризованным полиномом от он содержит новые переменные однородным линейным образом:

Иногда новые переменные обозначаются через и тогда поляризованная форма называется полным дифференциалом от Поляризация обладает формальными свойствами дифференцирования:

Степенью одночлена

от наших переменных называется сумма

целых неотрицательных показателей Каждый полином является линейной комбинацией одночленов; если все эти одночлены имеют одну и ту же степень

то полином называется однородным или формой степени . В (1.8) сумма распространяется на все совокупности целых неотрицательных показателей с суммой Умножение всех переменных на численный множитель превращает

Другим способом записи такой формы является: а

где каждый из индексов независимо пробегает значения от 1 до . В этом выражении коэффициенты определены неоднозначно; однако, они становятся уже однозначно определенными, если наложить на условие симметричности:

для любой перестановки ряда Тогда коэффициенты из очевидно связаны с коэффициентами а из (1.8) следующим соотношением:

если из индексов равны из этих индексов равны из них равны .

(1.10) естественно подсказывает образование полилинейной формы

зависящей от систем по переменных:

От формы мы снова возвратимся к форме (1.10), отождествив

Симметричность коэффициентов относительно индексов эквивалентна симметричности полилинейной формы относительно перестановок систем Поэтому наш результат может быть выражен так: существует однозначно определенная симметричная полилинейная форма переходящая при отождествлении (1.14) в заданную форму степени

Полагая в находим, что поляризованная форма при замене у на х приводится к

То же самое явствует и из формулы (1.10), которая, в предположении симметричности коэффициентов сразу дает;

Поэтому симметричная полилинейная форма соответствующая заданной форме степени получается из путем полной поляризации:

Это снова доказывает ее единственность.