4. Группы. Эрлангенская программа Клейна. Величины

Совокупность всех невырожденных линейных преобразований в -мерном векторном пространстве совокупность всех унимодулярных линейных преобразований преобразований с определителем, равным 1), совокупность всех ортогональных преобразований и совокупность всех собственно ортогональных преобразований — суть группы. И это понятие есть третий столп, на который будет опираться наше задние. В каждой точечной области, т. е. заданной совокупности элементов называемых точками, мы можем изучать взаимно

однозначные соответствия означает тождество, обратное соответствие и два соответствия

вместе образуют композицию

Группа есть множество соответствий, содержащее тождество вместе с каждым из -также обратное соответствие и вместе с любыми двумя из также их композицию Рассматриваемое как абстрактная группа у, наше множество состоит из элементов (безразлично какой природы), для которых определена композиция удовлетворяющая следующим трем правилам:

1) закон ассоциативности

2) существует единичный элемент 1 такой, что для всех

3) для каждого элемента существует обратный элемент

Переходя на абстрактную точку зрения, мы всегда будем заменять прописные буквы соответствующими строчными буквами Исходная группа преобразований является точной реализацией абстрактной групповой схемы у. Говорят, что задана реализация абстрактной группы у, если каждому элементу отнесено взаимно однозначное соответствие так, что

реализация является точной, если различным элементам отнесены различные Каждая абстрактная группа у допускает точную реализацию, полем действия которой является само групповое многообразие у; эта реализация осуществляется путем отнесения каждому элементу а "сдвига" в

(регулярная реализация). Реализация посредством линейных подстановок в -мерном векторном пространстве называется представлением степени.

Здесь не место повторять вереницу элементарных определений и предложений о группах, заполняющую первые страницы любого руководства по теории групп Следуя Эрлангенской программе Клейна мы предпочтем описать в общих

чертах значение групп для идеи, относительности, в частности в геометрии. Возьмем в качестве примера эвклидово точечное пространство. По отношению к декартовой системе отнесения каждая точка представляется своей координатой столбцом из трех вещественных чисел. (Я намеренно, отклоняюсь от обычного словоупотребления, называя весь символ координатой, в единственном числе.) Координаты суть объективно индивидуализированные воспроизводимые символы, тогда как точки все одинаковы. Не существует никакого объективного отличительного свойства, с помощью которого можно было бы выделить одну точку среди всех остальных; фиксирование точки возможно только путем указательного акта, выражаемого такими словами, как "это", "здесь". Все декартовы системы отнесения одинаково допустимы; никакое объективное геометрическое свойство, которым обладает одна из них, не может не быть присущим и всем остальным. Координаты одной и той же произвольной точки относительно двух таких систем связаны преобразованием

где неособенная матрица, удовлетворяющая соотношению

с числовым множителем а (наличие которого обусловливается произвольностью масштабной единицы.) Каждое такое преобразование (4.2) осуществляет переход от заданной декартовой системы отнесения к некоторой другой. В то же время может быть истолковано и как выражение, задающее в фиксированной декартовой системе отнесения отображение подобия рассматриваемого точечного пространства на самое себя. Группа всех этих преобразований или автоморфизмов пространства описывает истинный характер относительности, свойственной данному пространству, истинную его степень однородности. Например, групповая характеристика эвклидовой геометрии говорит нам, что все точки одинаковы, что в заданной точке — все направления одинаковы, и т. д.

В аффинном точечном пространстве ограничение (4.3) заменяется более слабым: если же приписывать термину "аффинное" первоначальный смысл, вкладывавшийся в этот термин Эйлером и предполагавший сохранение объема, то (4.3)

заменится условием Имея перед собой эти и другие примеры, особенно проективную геометрию, Клейн выдвинул принцип, состоящий в том, что каждая группа преобразований может служить группой автоморфизмов и что она определяет природу геометрии, с которой мы имеем дело. Будем различать две тесно связанные идеи 1° автоморфизма и 2° координатизации (sit venia verbo [да простят это слово!]).

1° Автоморфизмы. Лейбниц выдвинул принцип: две фигуры подобны или эквивалентны, если их нельзя отличить друг от друга, рассматривая каждую саму по себе, так как любое возможное объективное свойство, которое имеет одна фигура, имеет и другая 14. Лейбниц выявил, таким образом, действительный общий смысл подобия. Для геометрии, основанной на системе аксиом, объективные свойства и соотношения можно описать как логически определяемые через неопределимые далее фундаментальные геометрические понятия, входящие в аксиомы. Отображение подобия или автоморфизм есть взаимно однозначное соответствие между точками пространства, переводящее каждую фигуру в подобную, т. е. не нарушающее никакого объективного соотношения между точками. (Отображение не нарушает соотношения если образы удовлетворяют этому соотношению, коль скоро ему удовлетворяют первоначальные точки Автоморфизмы необходимо образуют группу, потому что каждая фигура эквивалентна самой себе и эквивалентность есть симметричное и транзитивное соотношение. Групповые аксиомы представляют собой как раз формальное выражение этих тривиальных фактов. Математик, не расположенный к привлечению каких бы то ни было внешних истин, будет склонен стать на ту точку зрения, что любая группа может быть задана как группа автоморфизмов; он заявляет этим, что собирается изучать только те соотношения между точками, которые не нарушаются при отображениях из его группы.

2° Координатизация. В системе отнесения точечное пространство отображается на поле воспроизводимых символов или координат:

(Слово "поле" употреблено здесь в широком смысле области изменения.) Мы предполагаем, что координатизация устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками и координатами х. Ничто не препятствует рассматривать как систему

отнесения саму эту координатизацию. Посредством автоморфизма

мы можем определить новую координатизацию

эквивалентную первой и никаким объективным способом не отличимую от нее. Обе координатизации связаны преобразованием 5,

описывающим автоморфизм а в системе координат х. Преобразования 5, выражающие различные автоморфизмы а в заданной системе отнесения образуют группу, изоморфную группе автоморфизмов. В то же время группа преобразований 5 описывает переходы эквивалентных систем отнесения друг в друга. Самое большее, на что мы можем надеяться, — это объективно определить класс одинаково допустимых систем отнесения, так чтобы любые две системы из этого класса были эквивалентны. Это есть проблема относительности: фиксировать объективно класс эквивалентных координатизаций и установить группу преобразований связывающих их друг с другом. (Индивидуальная функция преобразования 5, совершенно так же, как и сама координата х, является воспроизводимым символом.)

Однако воспроизводимыми символами требуется представлять не только точки, но и любые другие типы геометрических объектов; а при переходе к физике в аналогичной символической трактовке нуждаются и всякого сорта физические величины, как скорости, силы, напряжения поля волновые функции и т. д.

Часто действуют так, как если бы, раз только точки уже подчинены этой трактовке путем фиксации для них системы отнесения, дело с этими остальными объектами устроено само собой, не требуя особой заботы. Разумеется, это не совсем верно; требуется, по крайней мере, произвольно фиксировать дополнительные единицы измерения для того, чтобы сделать схему отнесения полной. Не стесняя себя заранее излишне жесткими рамками, мы можем в этом случае говорить о системе отнесения, охватывающей все виды объектов, с тем, однако, чтобы закон преобразования для символов, описывающих в соответствующих системах отнесения объекты заданного сорта (точки, или напряжения электромагнитного поля), зависел от рассматриваемого специального объекта. Группа автоморфизмов будет тогда скорее абстрактной группой, а не группой преобразований. Это представляется

естественным шагом вперед по сравнению с собственной клейновской формулировкой его программы. Абстрактная группа характеризует "геометрию", в смысле Клейна, тогда как тип переменной величины в этой геометрии характеризуется законом ее преобразования. Каждый элемент 5 абстрактной группы описывает переход от одной системы отнесения к другой. Закон преобразования устанавливает, как изменяется символ или координата, представляющие произвольное значение рассматриваемой величины в системе отнесения при переходе к другой системе посредством элемента следовательно, этот закон является реализацией абстрактной группы посредством преобразований в поле координат. Я дам теперь систематическую аксиоматическую формулировку, в которой (1) относится к "геометрии" или "пространству" как таковым, к специальным величинам в них.

A. "Символическая" часть (относящаяся к элементам группы и координатам).

1°. Задана совокупность у элементов, называемых групповыми элементами. Каждая пара групповых элементов порождает композицию — элемент Существуют единичный элемент 1, удовлетворяющий соотношению и обратный элемент для каждого группового элемента 5: (Выполнение закона ассоциативности явно не требуется.)

2°. Заданы совокупность (или "поле") элементов, называемых координатами х, и реализация группы у посредством взаимно однозначных соответствий в этом поле.

B. "Геометрическая" часть (относящаяся к системам отнесения и величинам).

1°. Каждые две системы отнесения определяют групповой элемент называемый переходом от Обратно, групповой элемент "переводит" систему в однозначно определенную систему так, что переход Переход есть единичный элемент 1, переход обратный элемент по отношению к переходу Если соответственно, — переходы то композиция есть переход

2°. Величина типа допускает различные значения. По отношению к произвольно фиксированной системе отнесения каждое значение величины определяет координату х, так, что есть взаимно однозначное отображение возможных значений величины на поле координат. Координата х, соответствующая тому же произвольному значению в любой другой

системе связана с х преобразованием сопоставляемым с переходом заданной реализацией

Для лучшего уяснения добавим еще следующие замечания. Связь между системами отнесения и групповыми элементами, установленная в весьма сходна с связью между точками и векторами в аффинной геометрии №. Последняя аксиома в В 1° влечет за собой закон ассоциативности для композиции групповых элементов. Эпистемолог отметит тот факт, что объекты в групповые элементы и координаты — суть объективно индивидуализированные и воспроизводимые символы, тогда как любые две системы отнесения, говоря словами Лейбница, "неразличимы, если каждую рассматривать саму но себе". Они вводятся для того, чтобы сделать возможной фиксацию значений всевозможных типов величин в нашей геометрии посредством воспроизводимых символов. С математической точки зрения следовало бы заметить, что аксиомы В 1° содержат ничуть не больше, чем аксиомы, определяющие группу, так что элементы любой ассоциативной группы можно рассматривать как переходы между различными системами отнесения в надлежащей геометрии. Действительно, если группа у задана, можно каждый ее элемент назвать одновременно "системой отнесения" и определить переход от системы к системе как групповой элемент Тогда наши аксиомы, связывающие групповые элементы с системами отнесения, будут, очевидно, выполнены, если групповое умножение, ассоциативно. Таким же образом математик не поколеблется отождествить значения величины с ее соответствующими координатами х, и требование, чтобы объективное значение имели лишь те соотношения, которые остаются неизменными при замене х на

для каждого будет означать для него лишь условие, которым он провозглашает, что не будет изучать никаких других соотношений.

Все это звучит достаточно обще и абстрактно. Тем не менее наша формулировка В 2° еще слишком узка для многих важных целей, так как следует учитывать возможность, что одна координатная система будет не в состоянии охватить всей области значений величины Однако мы не собираемся вдаваться в эти дальнейшие обобщения; напротив, начиная отсюда, мы ограничимся тем частным случаем, когда реализация есть представление и потому координатой является любой ряд чисел

из заданного числового поля Слово "величина" будет теперь резервировано только для этого случая, и мы еще раз повторим определение при этом ограничении

Величина типа характеризуется представлением группы над некоторой степени Каждое значение величины определяет в системе отнесения -вектор так что "компоненты" величины преобразуются при переходе К другой системе с помощью матрицы

Представления степени 1 суть представления с помощью чисел:

Частный случай представления степени 1, для которого тождественно относительно называется тождественным представлением; величина этого типа называется скаляром.

Мы теперь уже уверенно вошли в воды чистой математики. Понятия неэквивалентности, приводимости и разложения представляются совершенно естественными в применении к представлению группы у или к типу величин. Они имеют даже более общий смысл, поскольку группу можно здесь заменить любой совокупностью матриц.

Пусть — какая-нибудь совокупность линейных преобразований или матриц -мерном векторном пространстве Если изменить базис этого пространства с помощью невырожденной линейной подстановки то каждая матрица А перейдет в

матрицы А образуют эквивалентную совокупность

Совокупность называется приводимой, если содержит линейное подпространство инвариантное относительно всех преобразований А из и не совпадающее ни со всем пространством ни с нулевым пространством, состоящим из одного лишь вектора . В этом случае можно отнести к такой системе координат, что все матрицы А будут иметь вид (2.6).

разложимо, если распадается на два ненулевых подпространства инвариантных относительно всех А из . В системе координат, приуроченной к этому разложению каждая матрица А имеет вид (2.7), что мы будем выражать символической записью

Эти определения применимы, в частности, к группе матриц гомоморфной заданной группе Если фиксированная неособенная матрица, представление

эквивалентно первоначальному. Эквивалентные представления мы будем рассматривать как одно и то же представление, отнесенное только к различным базисам в пространстве представления, по отношению к которым линейные операторы представления выражены в матричнрй форме. След матрицы называется характером представления. Эквивалентные представления имеют один и тот же характер. В случае приводимости все имеют, в надлежащей системе координат, вид (2.6). Часть определяет представление степени группы у, так что часть величины сама является величиной типа мы говорим, что она содержится в последней. Если неприводимо, то сама величина называется неприводимой или примитивной. В случае разложения (2.7) наша величина является соединением двух независимых частей

компоненты каждой из которых преобразуются только между собой. Ничто не препятствует рассматривать электромагнитный потенциал вместе с напряжением поля как одну величину с десятью компонентами; но, разумеется, это — довольно искусственное объединение и гораздо естественнее разложить его на две независимые части, соответственно, с четырьмя и шестью компонентами — потенциал и напряжение поля. Очевидно является вопросом первостепенной важности, разбивается ли заданная величина на несколько независимых примитивных величин, т. е. можно ли заданное представление расщепить на неприводимые составляющие. Другими словами: верно ли, что подпространство пространства инвариантное относительно операторов из обладает инвариантным дополнительным подпространством так что все пространство представления разбивается на две линейно независимые части и верно ли это для всякого представления 21 заданной группы Ответ оказывается утвердительным в наиболее важных случаях и, в частности, как мы позже увидим, для всех конечных групп. На нашем пути мы встретились со следующей операцией сложения, посредством которого два представления

одной и той же группы, имеющие, соответственно, степени порождают представление степени

Соединение величины типа с величиной типа дает величину

Характер представления является суммой характеров представлений 31 и 31.

Другой важной операцией является умножение Если векторы

подвергаются соответственно линейным преобразованиям

то произведений

подвергаются соответствующему линейному преобразованию называемому кронекеровским произведением преобразований В явной форме преобразование

очевидно задается равенством

и наше определение сразу приводит к закону композиции

есть представление

степени Тот же знак X будет применяться и к соответствующим величинам. Характер представления есть произведение характеров представлений . Совершенно естественно возникает задача разложения произведения двух примитивных величин на его примитивные составляющие; частные, случаи этой задачи будут рассмотрены ниже (главы IV и VII).

Числа (4.4) можно рассматривать как компоненты вектора в -мерном векторном пространстве При рассмотрении линейных форм в этом пространстве часто оказывается удобным заменять самый общий вектор независимыми компонентами вектором где — независимые переменные; этот прием называется символическим методом в теории инвариантов.

Отметим уже здесь некоторые важные представления полной линейной группы мы придем к ним, рассматривая в аспекте теории представлений преобразование форм от переменных под действием линейных подстановок переменных. Возьмем любое невырожденное линейное преобразование А:

Под его влиянием все одночлены заданной степени

подвергнутся линейному преобразованию и соответствие будет представлением степени

С другой стороны, рассмотрим произвольную форму степени зависящую от контравариантного векторного аргумента и запишем ее в виде

Когда преобразуются по формуле

переходит в форму от новых переменных коэффициенты которой и получаются из с помощью той же подстановки с которой мы встретились выше. Действительно, -тая степень инвариантного произведения

является частным случаем формы (4.6), с

Символический метод заменяет произвольную форму частной формой

Произведения компонент векторов

когрединтно преобразующихся посредством того же самого А, (4.5), в векторы подвергаются преобразованию Величина этого типа с компонентами называется тензором ранга Согласно (1.10), мы записываем нашу форму (4.6) в виде

с симметрическими коэффициентами где

если из индексов равны из этих индексов равны 2, и т. д. Поэтому многообразие форм степени есть не что иное, как совокупность всех симметрических тензоров ранга -где. симметрия означает, что не меняет своего значения при любых перестановках индексов или аргументов В пространстве тензоров ранга симметрические тензоры образуют линейное подпространство, инвариантное относительно всех (невырожденных) преобразований А. Другое такое инвариантное подпространство состоит из всех кососимметрических тензоров, т. е. тензоров, компоненты которых меняют знак при транспозиции двух аргументов, например и

Частным случаем упомянутой выше задачи разложения произведения нескольких примитивных величин на его примитивные компоненты является расщепление тензорного пространства на неприводимые инвариантные подпространства; действительно, величина, называемая произвольным тензором, есть кронекеровское произведение (ковариантных) векторов. Этот вопрос будет рассмотрен в главе IV для полной линейной группы и в главах V и VI для некоторых других групп.

Прежде чем закончить этот параграф, коснемся вопроса об относительности в эвклидовом пространстве, хотя лишь слабо связанного с рассматриваемой здесь темой, однако интересного тем, что он породил много, путаницы у математиков и философов; я имею в виду вопрос о связи конгруэнтности с группой автоморфизмов эвклидова пространства. Если основывать геометрию на некотором числе фундаментальных отношений, как

"лежит на", «между", "конгруэнтно", то автоморфизм есть соответствие, не нарушающее никакого из этих отношений. Оставляя сначала в стороне отношение конгруэнтности, находим, что автоморфизм, поскольку это относится к векторам, должен быть линейным векторным преобразованием В предположении, что конгруэнтность устанавливается посредством собственно ортогональных преобразований А, дополнительное условие на а именно — не нарушать конгруэнтности, сводится к требованию, чтобы 5 было перестановочно со всей группой конгруэнтностей:

должно быть собственно ортогональной матрицей вместе с Совокупность всех линейных преобразований удовлетворяющих этому условию, является группой, так называемым нормализатором группы Нормализатор группы включает эту группу; в нашем случае он в действительности шире ее, так как включает, кроме "вращений", также "отражения" (несобственно ортогональные преобразования) и растяжения. Группа играет свою внутреннюю роль в эвклидовой геометрии задолго до возникновения "внешнего" вопроса о всех автоморфизмах; группой ее автоморфизмов является нормализатор группы а не сама Что же сказать теперь по поводу кантовской трактовки различия "левого" и правого" в § 13 его "Пролегомен" где он утверждает, что "различие между подобными и равными, но не конгруэнтными вещами (как, например, противоположно завитыми винтами) мы можем уяснить не с помощью отдельного понятия, но лишь в связи с правой и левой рукей, тем самым прямо опираясь на интуицию (Anschauung)"? Не подлежит сомнению, что понятие конгруэнтности в пространстве основано на интуиции, однако, то же относится и к подобию. Кант затронул на вид довольно тонкий пункт; но этот пункт отлично подходит под общую "концепцию" группы и ее нормализатора. Группа, вообще говоря, не может быть получена из ее нормализатора; нет ничего удивительного в том, что нормализатор может быть действительно шире самой группы.