15. Формальное сравнение Капелли

Мы имеем в виду применить к однородной функции тождество Капелли, содержащее латинских аргументов в -мерном пространстве. Однако теперь мы рассматриваем латинские и греческие символы не как векторы, а просто как составные части обозначений (14.1). Поэтому нам следует сперва определить процесс поляризации соответственно этой интерпретации ("формальная поляризация"); соотношение Капелли будет тогда выполняться не как равенство, а как сравнение по модулю

Мы принимаем, что поляризация где х и у — два латинских символа, удовлетворяет формальным законам (1.1.7). Эти законы показывают, как действует операция на произвольный полином коль скоро мы знаем, как она действует на его аргументы (14.1). Последнее же определяется следующими правилами:

1) Переменная, символ которой не содержит буквы х, переводится операцией в нуль;

Для доказательства сравнения Капелли мы поступаем совершенно так же, как раньше, различая, однако, с самого начала

два случая, соответственно тому, содержит ли наша однородная функция лишь переменные типа или также компонентные определители. Вводим символы не входящие в и образуем сумму

распространенную знакопеременно на перестановок символов . В случае а) это выражение, очевидно, составлено из членов

где одночлен от переменных, входящих в Поэтому (15.1) сравнимо с по модулю определителей типа После образования суммы (15.1) подставляем вместо . В том, что это приводит к тому же результату, как и в прежней менее формальной интерпретации, убеждаемся тем же самым способом, как и там, используя теперь следующие два факта, заменяющие обычные правила дифференцирования:

а) для двух различных символов имеем

если линейно относительно х, то Согласно правилам (1.1.7) достаточно доказать а) для случая, когда есть одна из переменных. Единственной переменной (14.1), действительно содержащей одновременно оба символа является Левая часть формулы а) равна нулю, поскольку с двумя одинаковыми по определению означает 0, правая же часть равна

что также по определению есть 0.

Таким способом находим, что (15.1) после подстановки первоначальных символов ха вместо новых перехфдит в

Знакопеременную сумму в (15.3) следует теперь понимать так, что последовательно заменяются всеми перестановками символов означает 1 или соответственно совпадению или несовпадению символов Результат, к которому мы приходим, состоит в том, что (15.3) сравнимо с по модулю типа

В случае поступаем следующим образом. Нам нужно применить (15.3) к одночлену являющемуся произведением переменных типа и латинских компонентных определителей, причем по крайней мере один из последних действительно содержится в Распространяя сначала суммирование лишь на перестановки символов можно последовательно собрать все символы в один компонентный определитель. Это выполняется путем применения тождества (8.4) к двум случаям:

где оно приводится соответственно к и Однако наше преобразование, в результате которого все символов сводятся в один определитель является с "формальной точки зрения" не тождеством, как это было в § 8, а преобразованием по модулю выражений типов и Отвлекаясь от множителей, не содержащих символов сумма (15.3) является теперь выражением типа или Таким образом, мы пришли к выводу, что если однородная функция содержит латинские компонентные определители, то (15.3) сравнимо с по модулю типов и