В. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

6. Разложение с помощью операции свертывания тензоров

Объектом нашего изучения будет теперь тензорное пространство под действием алгебры или, если предпочитать рассматривать все тензорные пространства рангов одновременно, — суммарное пространство

под действием Раз только выполнено разложение на неприводимые инвариантные подпространства относительно этой алгебры, результаты раздела А показывают, что это будет вместе с тем и полное разложение на неприводимые подпространства относительно ортогональной группы. Упомянутый в конце предыдущего параграфа прием, позволяющий нам обойти алгебру состоит в следующей простой идее.

Исходя из любого тензора ранга мы можем образовать след по первым двум аргументам

являющийся тензором ранга Этот процесс, обычно называемый в тензорном исчислении свертыванием (Verjiingung, contraction), инвариантен относительно алгебры если

— произвольный элемент из и переводит тензор ранга то переводит след тензора F в след тензора чтобы убедиться в этом, следует лишь применить уравнение при Тензор ранга имеет следов Рассмотрим инвариантное подпространство тех тензоров, все следы которых равны нулю. Разложение пространства на и дополнительное инвариантное подпространство доставляется следующей теоремой.

Теорема Каждый тензор может быть единственным образом разложен на два слагаемых, у первого из которых, все следы второе же имеет вид

Пусть -многообразие всех тензоров вида (6.1). Требование, чтобы тензор был перпендикулярен к

очевидно, означает, что все следов тензора равны нулю. Поэтому многообразие всех тензоров с нулевыми

следами является подпространством, перпендикулярным к и наше предложение является непосредственным следствием леммы При этом мы предполагаем, что основное поле вещественное.

Однако более внимательное рассмотрение показывает, что это доказательство проходит при любом поле характеристики О, поскольку оно на деле не выходит за пределы поля х рациональных чисел. Определим базис подпространства приписывая одной из компонент одного из тензоров в (6.1) значение 1, а всем остальным — значение 0. Варьируя всевозможными способами наш выбор, мы получим базисных Располагая их в один ряд и отбрасывая те, которые линейно зависят от предшествующих, мы придем к базису -мерного подпространства состоящему из линейно независимых тензоров, имеющих целые рациональные компоненты. Построение части

заданного тензора требует тогда решения системы линейных уравнений т. е.

где коэффициенты суть целые рациональные числа

Для рациональных квадратичная форма

будучи квадратом рационального тензора (6.2), , если только не все равны нулю. Следовательно, который является целым рациональным числом, не равен нулю и остается таковым в любом поле над х. Тем самым разрешимость системы уравнений обеспечена.

Разложение столь важно для нас потому, что как и инвариантно относительно Согласно уравнению подстановка переводит

если переводит

Повторно применяя наш процесс к тензорам ранга в (6.1), мы в конечном итоге расщепим произвольный тензор на слагаемые вида

где тензор ранга принадлежит т. е. все его следы есть любое разбиение ряда индексов на частей длины 2 и одну — длины порядок, в котором расставлены частей длины 2, и расположение отдельных членов внутри каждой части несущественны. разлагается на части

каждая — определенной "валентности" Это разложение единственно; соответствующие подпространства. пространства линейно независимы. Действительно, теорема устанавливает, что единственно. Далее, в разложении

все его "двойные следы" типа

равны нулю, тогда как есть сумма членов типа

С помощью рассуждения, аналогичного проведенному при доказательстве теоремы мы убеждаемся, что это разложение, т. е. однозначно определено; и так далее. Однако расщепление на отдельные слагаемые (6.4) валентности в значительной степени неоднозначно.

Итак, нам в некотором смысле удалось заменить тензорное пространство пространствами следа Подстановки из нашей алгебры гораздо легче характеризовать в этих подпространствах Заметим сперва, что каждая подстановка переводит тензор с нулевыми следами в тензор того же типа; поэтому есть и подстановка в есть бисимметричная подстановка в т. е. перестановочная со всеми подстановками Следующая теорема устанавливает полное обращение этого;

Теорема Заданная бисимметричная подстановка и заданный элемент

алгебры однозначно определяют подстановку в такую, что внутри совпадает с и

есть элемент из

Или: для каждого заданного ряда бисимметричных подстановок в существует однозначно определенный элемент (6.7) алгебры такой, что внутри совпадает с заданным

Дело вкуса — предпочесть ли доказать эту теорему в первой формулировке посредством разложения, указанного в теореме или доказать теорему сразу во второй формулировке, опираясь на более полное разложение (6.5). Выберем первый путь. Ясно, как построить искомое Каждый тензор ранга расщепляется на согласно теореме и его образ определяется как а

получается из (6.1) путем применения заданного к отдельным членам

Единственное, что нужно установить, это то, что однозначно определяет для этого мы должны показать, что из следует

Из теоремы мы знаем, что тензор из равен нулю, если, равны нулю все его (простые) следы Поэтому мы попытаемся показать, что след получается с помощью из соответствующего следа тензора Образуя след по первым двум аргументам, надлежит различать в сумме (6.1) члены трех типов:

(черта вида означает, что аргумент отсутствует). Случаи а) и b) тривиальны. След члена а) по первым двум аргументам равен след члена равен и так как бисимметрично, то расстановка аргументов в порядке

не окажет влияния на результат подстановки. След члена с) по аргументам есть

Согласно уравнению след тензора получается из посредством подстановки поэтому, согласно уравнению тензор (6.8) получается из соответствующего тензора без черточки посредством что мы и утверждали.

По нашему построению след тензора переводится подстановкой в след тензора и так как следы тензоров равны нулю, то след любого тензора переходит в след его образа посредством подстановки Поэтому построенная нами подстановка обладает следующими свойствами: она

1) бисимметрична;

2) совпадает с в пределах

3) преобразует следы тензоров ранга согласно заданной подстановке

4) превращает тензор где получается из посредством

Это нам и Требовалось доказать. В то время как в случае полной линейной группы совместное рассмотрение пространства с тензорными пространствами низшего ранга было, быть может, ненужным усложнением, здесь мы абсолютно ничего не добились бы, не объединив с ранги