В. ГРУППОВОЕ КОЛЬЦО КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ И ЕГО КОММУТАТОРНАЯ АЛГЕБРА
6. Постановка задачи
Раздел В будет посвящен теме, тесно связанной с темой раздела А, хотя и менее общей по охвату. Она возникла из задачи разложения тензорного пространства на его неприводимые компоненты относительно полной линейной группы, и мы приступаем к ней, имея в виду это применение. Пусть наше основное
-мерное векторное пространство
подвергнуто любому неособенному линейному преобразованию
тогда под влиянием этого преобразования компоненты произвольного тензора
ранга
подвергаются преобразованию
т. е.
преобразуется в
Все аргументы или индексы
пробегают целые значения
до
Тензоры ранга
образуют векторное пространство
размерности
Мы говорим, что А индуцирует в
преобразование
Соответствие
определяет представление группы
в V Примерами инвариантных подпространств в
служат совокупности всех симметрических или же всех косо-симметрических тензоров, а также, в очевидное обобщение этих простейших случаев, совокупность всех тензоров, удовлетворяющих каким-нибудь условиям симметрии. Чтобы описать, что такое условие симметрии, мы должны сперва выяснить, что означает применить к заданному тензору
подстановку
нижних индексов
Пусть
подстановка
тогда
мы определим формулой
Поэтому естественно стать снова на абстрактную точку зрения: каждая конечная группа у порядка
порождает алгебру ранга
так называемое групповое кольцо х над
состоящее из всех линейных комбинаций групповых элементов
с коэффициентами
из
Здесь сумма — лишь наводящий способ записи, "величина"
из
есть не что иное, как совокупность коэффициентов
или функция
определенная на группе. Существенно лишь определение трех операций: если а имеет коэффициенты
коэффициенты
то а
имеют соответственно коэффициенты
— произвольное число из
Все аксиомы, характерные для алгебры, выполнены; закон ассоциативности умножения есть непосредственное следствие соответствующего закона для элементов группы. Групповое кольцо содержит единицу 1. Переход от группы к групповому кольцу существенно облегчает ее изучение благодаря пополнению списка допустимых операций, включавшего первоначально лишь умножение
еще сложением
и умножением на числа
Возвращаясь к симметрической группе
порядка
и реализации ее элементов и величин а из группового кольца линейными операторами
в тензорном пространстве, следует заметить, что эта реализация, вообще говоря, — не изоморфная или точная. Если мы положим
или —1 соответственно тому, четна или нечетна подстановка
то альтернирование будет переводить каждый тензор
ранг которого
превосходит размерность
в нуль
преобразований
индуцируемых в
всеми неособенными линейными преобразованиями пространства
естественно заменить ее обертывающей алгеброй
Легко видеть, и позже будет в явном виде доказано [теорема (IV.4.E)], что эта алгебра состоит из всех преобразований
в тензорном пространстве, симметричных в том смысле, что а
не изменяется, когда оба ряда аргументов
подвергаются одной и той же подстановке
Так как термин "симметричный" употребляется для весьма многих других целей и притом также связанных с линейными преобразованиями, то я предлагаю присвоить рассматриваемому здесь роду симметрии наименование "бисимметрия". Бисимметричный оператор в тензорном пространстве можно описать, как оператор, перестановочный со всеми
операторами симметрии
Действительно, положим
тогда равенство
в силу (6.3) дает
или, в легко понятных обозначениях,
Поскольку подстановки
входят в определение алгебры
нет. ничего удивительного в том, что. исследование действия группы
на тензорное пространство связано с симметрической группой
Идея замены группы преобразований
обертывающей алгеброй всех бисимметричных А, впервые была подсказана автору применением этих теории к квантовой механике
Там тензор
описывает состояние физической системы, образованной из
однородных частиц, скажем, электронов. Каждая наблюдаемая физическая величина представляется линейным оператором
в тензорном пространстве, и в частности изменение
состояния
в момент
определяется оператором
представляющим энергию.
Если все частицы подобны, то
будет бисимметричным в нашем смысле, и потому между различными подпространствами
зорного пространства, инвариантными относительно алгебры
невозможны никакие переходы во времени, каковы бы на были силы взаимодействия между частицами. Решающую роль в квантовой механике играет не столько группа преобразований
сколько алгебра
Теперь уже должно быть совершенно очевидно, какой общей проблемой охватывается наш вопрос, относящийся к тензорам: группа
заменяется произвольной конечной группой у, тензорное пространство — любым векторным пространством, общий вектор которого мы обозначим через
а размерность — через
операторы
любым представлением
заданной группы у в этом векторном пространстве, и, наконец,
коммутаторной алгеброй представления
Мы установим полную взаимность между регулярным представлением группового кольца
группы у и коммутаторной алгеброй заданного представления. Повторим более подробно: у есть конечная группа порядка
означает общий ее элемент, х есть соответствующее групповое кольцо, образованное величинами (6.6). Пусть задано представление группы у в
-мерном векторном пространстве Р:
Мы сокращенно записываем (6.9) в виде
и распространяем это представление на групповое кольцо:
Линейные операторы а образуют алгебру
гомэморфную групповому кольцу.
есть коммутаторная алгебра заданного представления или алгебры
элементы алгебры
мы будем теперь обозначать через
Таким образом из
при следует, что
Групповое кольцо есть
-мерное векторное нространство
рассматриваемое как поле действия регулярного представления
алгебры
сопоставляющего величине а подстановку
в
наше же векторное пространство
будет рассматриваться как поле действия матриц из
(а не
соответственно следует понимать инвариантность, неприводимость, эквивалентность и т. п.
Первым делом покажем, что регулярное представление группового кольца
вполне приводимо, причем это справедливо при любом основном поле
После этого мы могли бы выбрать следующий путь: теорема
и ее доказательство показывают, как разложить
на неприводимые части, а тогда общая теорема
обеспечивает полную приводимость коммутаторной алгебры
. Однако мы установим здесь гораздо более полный и прямой параллелизм между
и
, без посредства
и притом гораздо более элементарным методом, который также можно вычитать из нашего специального случая тензоров
Как мы предлагали выделять инвариантное подпространство в тензорном пространстве
Наложением на
некоторого числа условий симметрии (6.4). Эти условия выражают, что "величина" с коэффициентами
находится в некотором линейном подпространстве о пространства
Читатель, не желающий оперировать с величинами, коэффициентами которых служат не числа, а тензоры, может потребовать, чтобы в указанном подпространстве лежала каждая величина х с коэффициентами
при произвольных фиксированных
Переход от этого замечания к нашей общей проблеме приводит к следующему Исходному пункту дальнейших рассмотрений.
Пусть
-вектор; через
мы будем обозначать величину с коэффициентами
можно рассматривать как вектор, компонентами которого служат не числа, а величины. Каждое подпространство а в
следующим образом определяет подпространство
векторного пространства Р: вектор
принадлежит
в том и только в том случае, если каждая из
величин
лежите в
То, что построенное так
есть инвариантное подпространство пространства
(инвариантное относительно алгебры — почти тривиально. Нашей главной целью является установить справедливость обратного утверждения, т. е. что каждое инвариантное
имеет вид Естественным способом достижения этой цели является построение
, и совершенно ясно, как это сделать. Пусть
— любое подпространство пространства
определяем а
как линейную оболочку всех величин вида
Более подробно: если
базис подпространства
, то соответствующее
состоит из всех величин вида
с произвольными коэффициентами
Опять-таки почти тривиально, что такое
инвариантно и является, кроме того, подпространством пространства
(не обязательно совпадающего со всем пространством
При этих ограничениях — что
инвариантно в
и а инвариантно в
мы покажем, что операции
и
взаимно обратны.