В. ГРУППОВОЕ КОЛЬЦО КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ И ЕГО КОММУТАТОРНАЯ АЛГЕБРА

6. Постановка задачи

Раздел В будет посвящен теме, тесно связанной с темой раздела А, хотя и менее общей по охвату. Она возникла из задачи разложения тензорного пространства на его неприводимые компоненты относительно полной линейной группы, и мы приступаем к ней, имея в виду это применение. Пусть наше основное -мерное векторное пространство подвергнуто любому неособенному линейному преобразованию тогда под влиянием этого преобразования компоненты произвольного тензора ранга подвергаются преобразованию

т. е. преобразуется в

Все аргументы или индексы пробегают целые значения до Тензоры ранга образуют векторное пространство размерности Мы говорим, что А индуцирует в преобразование Соответствие определяет представление группы в V Примерами инвариантных подпространств в служат совокупности всех симметрических или же всех косо-симметрических тензоров, а также, в очевидное обобщение этих простейших случаев, совокупность всех тензоров, удовлетворяющих каким-нибудь условиям симметрии. Чтобы описать, что такое условие симметрии, мы должны сперва выяснить, что означает применить к заданному тензору подстановку нижних индексов Пусть подстановка

тогда мы определим формулой

Этим обеспечивается выполнение желательного нам соотношения для любых двух подстановок композиция которых определена как Действительно, принятая нами последовательность в выполнении композиции сохраняется, если подстановке сопоставить следующие (линейные) преобразрвания сначала переменных в новые переменные а затем функции в новую функцию

Вытекающее отсюда равенство

совпадает с (6.3), если заменить V на Подстановки индексов образуют симметрическую группу у порядка

Линейное условие симметрии, наложенное на тензор есть соотношение

с произвольными коэффициентами оно утверждает, что оператор симметрии

переродит Операторы симметрии можно очевидным образом складывать и умножать на числа. Более того, последовательное применение операторов

(сперва затем порождает новый оператор симметрии с, произведение определенное формулой

где

Правила выполнения операций сложения и умножения зависят лишь от структуры рассматриваемой группы и ничем не связаны со специальной реализацией групповых элементов в виде линейных преобразований в пространстве

Поэтому естественно стать снова на абстрактную точку зрения: каждая конечная группа у порядка порождает алгебру ранга так называемое групповое кольцо х над состоящее из всех линейных комбинаций групповых элементов с коэффициентами из

Здесь сумма — лишь наводящий способ записи, "величина" из есть не что иное, как совокупность коэффициентов или функция определенная на группе. Существенно лишь определение трех операций: если а имеет коэффициенты коэффициенты то а имеют соответственно коэффициенты

— произвольное число из Все аксиомы, характерные для алгебры, выполнены; закон ассоциативности умножения есть непосредственное следствие соответствующего закона для элементов группы. Групповое кольцо содержит единицу 1. Переход от группы к групповому кольцу существенно облегчает ее изучение благодаря пополнению списка допустимых операций, включавшего первоначально лишь умножение еще сложением и умножением на числа

Возвращаясь к симметрической группе порядка и реализации ее элементов и величин а из группового кольца линейными операторами в тензорном пространстве, следует заметить, что эта реализация, вообще говоря, — не изоморфная или точная. Если мы положим или —1 соответственно тому, четна или нечетна подстановка то альтернирование будет переводить каждый тензор ранг которого превосходит размерность в нуль

преобразований индуцируемых в всеми неособенными линейными преобразованиями пространства естественно заменить ее обертывающей алгеброй

Легко видеть, и позже будет в явном виде доказано [теорема (IV.4.E)], что эта алгебра состоит из всех преобразований

в тензорном пространстве, симметричных в том смысле, что а не изменяется, когда оба ряда аргументов подвергаются одной и той же подстановке

Так как термин "симметричный" употребляется для весьма многих других целей и притом также связанных с линейными преобразованиями, то я предлагаю присвоить рассматриваемому здесь роду симметрии наименование "бисимметрия". Бисимметричный оператор в тензорном пространстве можно описать, как оператор, перестановочный со всеми операторами симметрии Действительно, положим

тогда равенство

в силу (6.3) дает

или, в легко понятных обозначениях,

Поскольку подстановки входят в определение алгебры нет. ничего удивительного в том, что. исследование действия группы на тензорное пространство связано с симметрической группой

Идея замены группы преобразований обертывающей алгеброй всех бисимметричных А, впервые была подсказана автору применением этих теории к квантовой механике Там тензор описывает состояние физической системы, образованной из однородных частиц, скажем, электронов. Каждая наблюдаемая физическая величина представляется линейным оператором в тензорном пространстве, и в частности изменение состояния в момент определяется оператором представляющим энергию.

Если все частицы подобны, то будет бисимметричным в нашем смысле, и потому между различными подпространствами зорного пространства, инвариантными относительно алгебры невозможны никакие переходы во времени, каковы бы на были силы взаимодействия между частицами. Решающую роль в квантовой механике играет не столько группа преобразований сколько алгебра

Теперь уже должно быть совершенно очевидно, какой общей проблемой охватывается наш вопрос, относящийся к тензорам: группа заменяется произвольной конечной группой у, тензорное пространство — любым векторным пространством, общий вектор которого мы обозначим через а размерность — через операторы любым представлением заданной группы у в этом векторном пространстве, и, наконец, коммутаторной алгеброй представления Мы установим полную взаимность между регулярным представлением группового кольца группы у и коммутаторной алгеброй заданного представления. Повторим более подробно: у есть конечная группа порядка означает общий ее элемент, х есть соответствующее групповое кольцо, образованное величинами (6.6). Пусть задано представление группы у в -мерном векторном пространстве Р:

Мы сокращенно записываем (6.9) в виде и распространяем это представление на групповое кольцо:

Линейные операторы а образуют алгебру гомэморфную групповому кольцу. есть коммутаторная алгебра заданного представления или алгебры элементы алгебры мы будем теперь обозначать через Таким образом из

при следует, что

Групповое кольцо есть -мерное векторное нространство рассматриваемое как поле действия регулярного представления

алгебры сопоставляющего величине а подстановку

в наше же векторное пространство будет рассматриваться как поле действия матриц из (а не соответственно следует понимать инвариантность, неприводимость, эквивалентность и т. п.

Первым делом покажем, что регулярное представление группового кольца вполне приводимо, причем это справедливо при любом основном поле После этого мы могли бы выбрать следующий путь: теорема и ее доказательство показывают, как разложить на неприводимые части, а тогда общая теорема обеспечивает полную приводимость коммутаторной алгебры . Однако мы установим здесь гораздо более полный и прямой параллелизм между и , без посредства и притом гораздо более элементарным методом, который также можно вычитать из нашего специального случая тензоров

Как мы предлагали выделять инвариантное подпространство в тензорном пространстве Наложением на некоторого числа условий симметрии (6.4). Эти условия выражают, что "величина" с коэффициентами находится в некотором линейном подпространстве о пространства Читатель, не желающий оперировать с величинами, коэффициентами которых служат не числа, а тензоры, может потребовать, чтобы в указанном подпространстве лежала каждая величина х с коэффициентами

при произвольных фиксированных Переход от этого замечания к нашей общей проблеме приводит к следующему Исходному пункту дальнейших рассмотрений.

Пусть -вектор; через мы будем обозначать величину с коэффициентами

можно рассматривать как вектор, компонентами которого служат не числа, а величины. Каждое подпространство а в следующим образом определяет подпространство векторного пространства Р: вектор принадлежит в том и только в том случае, если каждая из величин лежите в То, что построенное так есть инвариантное подпространство пространства (инвариантное относительно алгебры — почти тривиально. Нашей главной целью является установить справедливость обратного утверждения, т. е. что каждое инвариантное имеет вид Естественным способом достижения этой цели является построение , и совершенно ясно, как это сделать. Пусть — любое подпространство пространства определяем а как линейную оболочку всех величин вида Более подробно: если базис подпространства , то соответствующее состоит из всех величин вида

с произвольными коэффициентами Опять-таки почти тривиально, что такое инвариантно и является, кроме того, подпространством пространства

(не обязательно совпадающего со всем пространством При этих ограничениях — что инвариантно в и а инвариантно в мы покажем, что операции и взаимно обратны.