2. Основные предложения теории инвариантов

Будет удобно, прежде чем итти дальше, проиллюстрировать понятие векторного инварианта (глава I, § 5) двумя хорошо известными примерами — симметрической группы и ортогональной группы.

Теория алгебраических уравнений приводит к рассмотрению симметрических функций от аргументов т. е. функций, инвариантных относительно группы всех возможных подстановок аргументов. Эти подстановки суть, очевидно, линейные преобразования -мерного вектора Элементарные симметрические функции

суть коэффициенты полинома от неизвестной.

корнями которого служат Таким образом,

основным фактом, относящимся к симметрическим функциям, является то, что они могут быть выражены через элементарные симметрические функции Более подробно, для любой симметрической функции от аргументов существует функция от аргументов такая, что

Мы говорим, что функции образуют функциональный базис для семейства симметрических функций. Это предложение почти тривиально, если брать понятие функции в его наиболее широком объеме, поскольку оно тогда утверждает просто, что значения элементарных симметрических функций определяют значения аргументов с точностью до их порядка, единственным образом. Действительно, уравнением однозначно определяется множество его корней. Но если полином от то возникает вопрос, выражается ли через функции тем же самым алгебраическим способом, т. е. существует ли полином для которого имеет место соотношение Справедливость этого и утверждается так называемой основной теоремой о симметрических функциях: функции образуют целый рациональный базис для симметрических форм. Таким образом, ограничение гипотезы, а именно предположение, что заданная симметрическая функция — целая рациональная, сбалансировано

соответствующим сужением заключения: функциональное выражение для через базис также должно быть целым рациональным. Тем самым "алгебраическая теорема", относящаяся к формам не есть частный случай "функциональной теоремы", где функциональная зависимость в понимается в наиболее широком смысле; напротив, лишь алгебраическая теорема и требует развитого доказательства.

Подобное положение является характерным для многих случаев. "Все инварианты варажаются через конечное их число": эта так называемая первая основная теорема теории инвариантов подсказывается рассмотренным примером. Мы не можем утверждать ее справедливость для каждой группы у: напротив, главной нашей задачей будет исследовать для каждой частной группы, существует ли для неё целый рациональный базис или нет; ответ, конечно, окажется утвердительным в наиболее важных случаях. В этих случаях — и это то, что я хочу подчеркнуть, — чисто функциональная часть, утверждающая, что значения всех инвариантов определяются значениями базисных инвариантов, окажется почти тривиальной; существенные трудности будут лежать только в алгебраической части.

Чтобы пролить дополнительный свет на этот вопрос, я выберу в качестве второго примера группу, управляющую классической эвклидовой геометрией, — группу ортогональных преобразований. Рассмотрим функции от двух произвольных векторов х, у, инвариантные относительно всех (собственных и несобственных) ортогональных преобразований. Первая основная теорема утверждает, что скалярные произведения, которые можно построить с помощью этих двух векторов, а именно три произведения

образуют базис. Функциональная часть этого утверждения есть не что иное, как основное предложение о равенстве треугольников: "треугольники ABC и АВС равны, если две стороны и заключенный между ними угол одного треугольника совпадают с соответствующими элементами другого", или, что то же: "две фигуры, образованные парами векторов х, у и х, у, конгруэнтны, т. е. могут быть переведены одна в другую путем надлежащего ортогонального преобразования тогда и только тогда, когда

Глубже лежит алгебраическое предложение, что каждая ортогонально инвариантная форма представима в виде полинома от трех скалярных произведений (2.4). Посмотрим, сможем ли мы доказать это методами, используемыми при доказательстве сформулированной выше теоремы о конгруэнтности в аналитической -мерной геометрии, где координаты изменяются в поле К всех вещественных чисел.

Пусть численно заданы два вектора х, у. "Классическим индуктивным построением" (глава I, § 3) можно выбрать новую декартову систему координат так, чтобы вектор х был параллелен первому фундаментальному вектору а вектор у лежал в плоскости

Целый рациональный инвариант должен быть тогда равен где

Таким образом, есть полином от трех величин . Но

поэтому

Итак, этот путь привел к появлению квадратных корней и знаменателя

Однако от квадратных корней освободиться довольно легко. Мы нашли, что равно некоторому полиному от величин а, у. Из инвариантности относительно частных ортогональных преобразований, состоящих в изменении направления первой или, соответственно, второй оси, следует, что не меняется при подстановках

Полином есть линейная комбинация одночленов

вследствие только что указанной инвариантности, показатель с должен быть четным во всех членах полинома показатели же должны быть в каждом члене одинаковой четности, т. е. либо оба четные, либо оба нечетные. Соответственно двум этим случаям, есть либо одночлен от квадратов либо такой одночлен, умноженный на Следовательно, может быть записан в виде полинома от от

Таким образом, рационально выражается через скалярные произведения со степенью в качестве знаменателя.

Аналогичным образом можно найти рациональное выражение для через скалярные произведения, содержащее в качестве знаменателя степень Комбинируя оба результата, можно, как мы скоро увидим (см. стр. 56), избавиться также от знаменателей. Однако в целом описанный метод слишком громоздок, чтобы располагать к обобщению его на случай более чем двух аргументов.

Проблема нахождения ортогональных инвариантов от произвольного числа векторных аргументов будет решена в § 9 другим методом. Результат будет аналогичен полученному: симметричная матрица скалярных произведений

будет представлять собой полную таблицу базисных инвариантов.

Это наводит на предположение, что для заданной группы линейных преобразований можно указать конечное число типовых базисных инвариантов, годное для любого числа векторных аргументов. Такая таблица должна состоять из определенных инвариантов, зависящих от некоторых "типовых" векторных аргументов и давать целый рациональный базис для инвариантов от произвольного числа векторных аргументов если подставлять эти векторные аргументы во всех возможных комбинациях (не исключая повторений) вместо типовых векторных аргументов В этом смысле ортогональная группа имеет в качестве своего единственного типового базисного инварианта скалярное произведение

Действительно, образуя все скалярные произведения (2.5), мы получим базис для инвариантов от независимых векторов каково бы ни было их число

Когда предлагается выразить некоторые функции, например, инварианты, через заданные величины, например, базисные инварианты, существенно знать, зависимы эти величины между собой или нет. Так, базисные инварианты для симметрической группы (над полем комплексных чисел), элементарные симметрические функции независимы в том строгом функциональном смысле, что они могут одновременно принимать произвольно предписанные значения Действительно, компоненты вектора х определятся как корни уравнения

Алгебраическая независимость полиномов т. е. тот факт, что между ними не существует никакой рациональной зависимости, является непосредственным следствием этой строгой функциональной независимости. Желательно, однако, иметь чисто алгебраическое доказательство для этого чисто алгебраического предложения: что полином от независимых переменных Равен нулю как полином от если, он равен нулю как полином от после подстановки вместо элементарных симметрических функций Такое доказательство становится уже необходимым при оперировании в произвольном числовом поле вместо области комплексных чисел.

Мы проведем доказательство с помощью двойной индукции по числу и степени полинома Заметим, что

где элементарные симметрические функции от Поэтому, если мы в тождестве

положим то получим

Так как мы принимаем в качестве предположения индукции, что алгебраически независимы, то заключаем, что

откуда полином имеет вид

Так как то но О имеет меньшую степень, чем и потому в силу второго предположения индукции должно обращаться в нуль тождественно.

Нет оснований ожидать, что это положение, с которым мы встретились здесь в случае симметрической группы, будет характерно и для общего случая; алгебраические соотношения между базисными инвариантами могут существовать, даже если множество последних не слишком обширно. Это имеет место, например, когда -знакопеременная группа, т. е. группа всех четных подстановок аргументов Совокупность базисных инвариантов для знакопеременной группы состоит из элементарных симметрических функций и "разностного произведения"

Квадрат последнего "дискриминант", есть симметрическая функция и потому выражается через функции Но, как мы увидим, это соотношение является в некотором смысле "единственным" соотношением, связывающим нашу совокупность базисных инвариантов.

Докажем сначала, что инварианты образуют целый рациональный базис для знакопеременной группы. Форма инвариантная относительно четных подстановок, переходит при всех нечетных подстановках в одну и ту же форму Сумма симметрична, тогда как разность знакопеременна, т. е. изменяет свой знак при транспозиции двух переменных. Поэтому полином обращается в нуль, если отождествить два из его аргументов, скажем значит, должен делиться на Делясь на каждый из простых полиномов должен делиться на их произведение

Полином О, очевидно, симметричен. Выразив симметрические формы через элементарные симметрические функции, мы

получим для следующее выражение через функции

[То, что входит только в первой степени, не представляется неожиданным, поскольку может быть выражено в виде полинома от функций

Обращаясь ко второй части нашего утверждения, заметим, что то, что упомянутое выше квадратное уравнение

является единственным, связывающим наши базисные инварианты можно утверждать в обоих смыслах — как "функциональном", так и "алгебраическом". Что касается функционального аспекта, то заметим, что эти инварианты могут принимать произвольные значения подчиненные лишь условию

Действительно, коэффициенты определяют с точностью до порядка нумерации корни а соответственно этому порядку может принимать то или иное из значений допускаемых соотношением (2.8). Что же касается алгебраического аспекта, то каждый полином от независимых переменных тождественно обращающийся в нуль как полином от после подстановки кратен левой части соотношения (2.7):

где снова полином. Для доказательства будем рассматривать как полином от и разделим его на Получим линейный остаток: Указанная выше подстановка даст оба равенства соответственно порядку нумерации переменных Следовательно, и тождественно равны нулю, откуда

Для вопроса о соотношениях между базисными инвариантами не менее поучительной, чем эта конечная группа, является непрерывная группа всех ортогональных преобразований. Выше мы рассмотрели инварианты, зависящие от двух векторов х, у. Базисные их инварианты по крайней мере

если число измерений — могут принимать все численные значения, удовлетворяющие неравенству

действительно, длины двух сторон треугольника и угол, заключенный между ними, могут быть произвольно заданы. Неравенство (2.9) с общей функциональной точки зрения, конечно, должно рассматриваться как соотношение; с точки же зрения алгебраической независимы, так как они не связаны никаким алгебраическим уравнением.

Как ведут себя в этом отношении произвольное число А независимых векторов и таблица их скалярных произведений Скалярные произведения алгебраически независимы, коль скоро не превышает размерности но перестают уже быть независимыми, еслй Так, скалярные произведения векторов удовлетворяют уравнению

В случае задача определения А векторов которых матрица скалярных произведений (2.5) совпадает с заданной симметрической матрицей с А строками и столбцами, имеет в вещественном поле К решение тогда и только тогда, когда квадратичная форма с коэффициентами является положительно определенной. Это утверждение есть лишь другая формулировка того хорошо известного факта, что такая форма может быть линейно преобразована в сумму квадратов независимых переменных. Как видим, таблица (2.5) базисных инвариантов ограничена лишь неравенствами, если алгебраические же уравнения появляются, как только число А векторов превосходит размерность Чисто алгебраическое доказательство, годное при любом основном поле, будет дано в разделе С, § 17.

Мы доказали для случая что каждая инвариантная форма зависящая от двух векторов х, у, выражается как в виде

так и в виде

где полиномы. Полином

при подстановке обращается в нуль. Так как алгебраически независимы, то он должен обращаться в нуль тождественно относительно Таким образом, делится на скажем откуда

Несмотря на успех, достигнутый нами в доказательстве первой фундаментальной теоремы для ортогональных инвариантов от двух векторов, мы столкнемся с существенными осложнениями, если попытаемся обращаться тем же способом с независимыми векторами. Этот метод становится уже совершенно безнадежным, когда превосходит размерность и скалярные произведения перестают быть линейно независимыми. Для преодоления этих трудностей требуется новый формальный аппарат.

Первой основной проблемой в теории векторных инвариантов заданной группы является определение системы базисных инвариантов, и первая основная теорема (справедливость которой, однако, мы не можем утверждать для всех групп) устанавливает конечность такого базиса. Вторая основная проблема состоит в определении "всех" алгебраических соотношений, имеющихся между базисными инвариантами

или, вернее, в нахождении некоторого числа таких соотношений, алгебраическими следствиями которых являлись бы все остальные. Конечность этого числа устанавливается второй основной теоремой теории инвариантов. Она верна для любой группы, для которой справедлива первая основная теорема; действительно, она является частным случаем общей теоремы Гильберта, утверждающей, что каждый полиномиальный идеал имеет конечный базис (см. библиографические указания к главе Последняя теорема впервые была получена Гильбертом как раз в этом контексте теории инвариантов. Все полиномы от ("соотношения") от независимых

переменных обращающиеся после подстановки тождественно в нуль как полиномы от образуют идеал в кольце полиномов от неизвестных Согласно теореме Гильберта, идеал имеет конечный базис Таким образом, все соотношения имеющие, место между базисными инвариантами являются следствиями соотношений

Это общее решение, нашей проблемы не освобождает нас от обязанности действительного определения базиса для соотношений в каждом частном случае, который может нам встретиться.