3. Произведения простых алгебр

С доказательством леммы выполнена серьезная доля работы; остается оценить и истолковать значение полученного результата для произведения простых алгебр (§ 3) и расширения основного поля (§ 4).

Из (2.2) вытекают соотношения

Согласно лемме алгебра вследствие неприводимости алгебры неприводима; а в силу теоремы Веддербёрна мы можем представить наш результат в форме соотношения эквивалентности

имеющего место для любых двух неприводимых матричных алгебр и , первая из которых нормальна. Наш результат содержит следующее абстрактное предложение:

Теорема Произведение двух простых алгебр, одна из которых нормальна, есть снова простая алгебра.

Отсюда мы могли бы, с помощью теоремы вывести наше конкретное предложение, что есть -кратное неприводимой матричной алгебры Однако данное нами выше доказательство было непосредственно направлено к этой конкретной цели и, кроме того, дало еще, что и есть делитель порядка матриц алгебры

Теорема Веддербёрна делает переход от алгебр с делением к простым алгебрам столь легким, что, пожалуй, удобнее специализировать наш результат (2.2) для случая где алгебра с делением ранга чем обобщать его до (3.1). Напишем поэтому (специальное X специальное)-равенство

Это приводит обратно к (общему X общее)-результату (3.1) в форме

Переход от оставляет кратность и неизменной, заменяя на точно так же неприводимое

Относительно (специального X специальное)-случая (3.2) я чувствую себя обязанным сделать два дополнительных замечания.

Первое замечание. Инвариантное подпространство произведения обладает неким базисом относительно квази-поля коэффициентов из Однако мы можем поменять ролями и рассматривать как векторное пространство, как квази-поле множителей или коэффициентов будет иметь тогда некий -базис через который оно описывается выражением

в котором коэффициенты независимо пробегают имеет размерность

Так как то получаем еще соотношение и убеждаемся тем самым, что и является общим делителем чисел и 5. Та же связь имеется и в (общем X общее) - случае. Действительно, при переходе от превращаются, соответственно, в тогда как и остается неизменным, соотношение (3.3). Имея в своем распоряжении эту дополнительную информацию, мы сформулируем конкретный дубликат теоремы следующим образом:

Теорема Произведение двух неприводимых матричных алгебр и , одна из которых нормальна, разлагается на некоторое число и одинаковых неприводимых компонент 2,

Кратность и является общим делителем порядков матриц обоих сомножителей.

Одинаковые части, на которые, в числе и, разлагается общая матрица алгебры будут иногда обозначаться символом В частном случае мы вместо пишем просто и аналогично поступаем, когда есть

Второе замечание. Применяя в (специальном X специальное)-соотношении , или в

теорему Веддербёрна к неприводимому заключаем из нее, что

где абстрактная алгебра с делением называемая брауэровским произведением , однозначно определяется сомножителями Сравнение степеней и рангов в получающемся соотношении эквивалентности

приводит к соотношениям

где степень представления ранг алгебры — Поэтому и

Теорема (IX.3.С). Произведение регулярных представлений двух алгебр с делением рангов где нормальна, разлагается по формуле

Если положить

то ранг алгебры с. делением равен