3. Усреднение по группе

Процесс усреднения по всем групповым элементам является мощным инструментом изучения конечной группы у, Доставляющим неожиданно сильные результаты. Мы уже встретились с этим методом в главе III, где вывели с его помощью существование производящих идемпотентов и полную приводимость регулярного, а потому и любого представления конечной группы. Чтобы освоиться с этим процессом, приведем и некоторые другие примеры.

Пусть в -мерном аффинном точечном пространстве задана конечная группа у аффинных преобразований . Я утверждаю, что существует точка, лево-инвариантная относительно

каждого из преобразований этой группы. Если центр тяжести некоторых положительных масс расположенных в точках любое аффинное преобразование, то будет центром тяжести тех же масс в точках Возьмем теперь произвольную точку и образуем центр тяжести эквивалентных точек получающихся из с помощью преобразований заданной группы, приписывая каждой из этих точек одну и ту же массу или вес 1:

обладает требуемым свойством. Действительно, для произвольного преобразования а из нашей группы имеем:

где

Но вместе с пробегает все групповые элементы; следовательно, снова равно

Другой важный пример, более близкий к нашим теперешним интересам, относится к инвариантам заданной абстрактной конечной группы у, где аргументы суть общие векторы пространств нескольких заданных представлений группы у (см. § 5 главы I). Пусть любой полином от таких векторов, однородный относительно компонент каждого из этих векторов. Образуем снова среднее

по группе Тогда будет инвариантом.. Этот процесс усреднения переводящий каждый полином в инвариант, во-первых, является линейным процессом и, во-вторых, оставляет неизменным, если сам есть инвариант. Кроме того, если инвариант, то имеем:

Мы увидим (глава VIII, § 14), что этот процесс доставляет простое доказательство первой основной теоремы теории инвариантов для случая конечных групп.

В качестве третьего примера я докажу следующее предложение:

Теорема Каждая конечная группа однородных линейных преобразований оставляет инвариантной некоторую положительно определенную эрмитову форму.

Доказательство. Эрмитова форма

называется положительно определенной, если за исключением того случая, когда Начнем с произвольной такой формы например, с единичной формы

Среднее

будет удовлетворять нашим требованиям.

Каждую положительно определенную эрмитову форму можно надлежащим выбором координат превратить в единичную форму. Это достигается классическим индуктивным построением унитарной системы координат, если принять

за скалярное произведение в нашей унитарной геометрии. Применяя это замечание к получаем важное

Следствие Любая конечная группа однородных линейных преобразований эквивалентна группе унитарных преобразований.

Отсюда, в силу леммы заново следует полная приводимость представлений конечных групп. Этот, хотя и очень быстрый, путь установления указанной фундаментальной истины имеет свои невыгоды по сравнению с нашим первоначальным способом, принятым в главе III. А именно, в то время как последний проходит в любом числовом поле, данное здесь доказательство оперирует в обыкновенном поле всех комплексных чисел. Даже в лучшем случае область его применения не может выйти за пределы полей типа , где вещественно.

Этих примеров уже достаточно. Но что мы на самом деле имеем в виду, — это применить процесс усреднения не к

конечной, а к компактней непрерывной группе. Пусть дана прерывная группа группа, элементы которой образуют, в топологическом смысле, непрерывное многообразие. При этом мы, естественно, предполагаем, что композиция двух элементов непрерывно зависит от совокупности обоих аргументов и что есть непрерывная функция от Будем, сверх того, предполагать, что к нашему групповому многообразию можно применить дифференциально-геометрическое понятие линейных элементов; в этом случае речь идет о группе Ли. До сих пор никому еще не удалось установить естественным и удовлетворительным способом внутренние требования, которым должно отвечать многообразие для того, чтобы оно допускало применение идеи линейных элементов и тем самым исчисления бесконечно малых ("дифференцируемое многообразие"). Однако для всех практических целей достаточно следующего. Каждой точке многообразия соответствует класс допустимых систем координат функции, выражающие преобразование одной допустимой системы координат в другую, не только непрерывны, но. обладают также непрерывными первыми производными и неравным нулю функциональным определителем (в некоторой окрестности данной точки). Этим способом многообразию сразу приписывается определенная размерность . "Параметры" предполагаются вещественными числами. Более тщательную формулировку читатель найдет в книжке VеbIеn and Whitehead, The Foundations of Differential Geometry, Cambridge Tracts, № 29, 1932. В случае группы эти требования нужно выставить лишь для точки 1, так как посредством .левого сдвига" а:

окрестность точки 1 переводится в окрестность произвольной, наперед заданной точки а. Разумеется, мы должны теперь принять, что для любых двух элементов достаточно малой окрестности точки 1 параметры произведения являются функциями от параметров сомножителей с непрерывными первыми производными.

Линейные элементы в единичной точке 1 являются инфинитезимальными элементами группы; они образуют -мерную касательную гиперплоскость к групповому многообразию в точке таких линейных элементов в точке 1 определяют инфинитезимальный элементарный

параллелепипед; в качестве его объема следует рассматривать абсолютное значение определителя

При изменении системы параметров покрывающих окрестность точки 1, все эти объемы умножаются на одну и ту же положительную постоянную. Таким образом, они, с точностью до выбора единицы, не зависят от системы параметров.

Процесс усреднения по компактной группе Ли предполагает, что мы умеем сравнивать элементы объема в различных точках группового многообразия. Мы должны найти аналог равным весам, приписывавшимся различным групповым элементам в случае конечной группы. Наши примеры сразу обнаруживают необходимое условие, которому должна удовлетворять такая "хорошая" мера объема: она должна быть инвариантна относительно всех левых сдвигов (3.4). Но по определении" объема для элементов в точке 1 этого требования уже вполне достаточно для перенесения меры из центрального бюро стандартов при точке 1 в любую другую точку: перенос осуществляется посредством левого сдвига. Элемент объема в а, получающийся из элемента объема в 1 посредством левого сдвига а, будет по определению иметь ту же меру, что и Линейный элемент в ведет от к бесконечно близкой точке посредством левого сдвига он переходит в линейный элемент в 1, определяемый формулой

Согласно нашему определению, эти и используются для вычисления объема инфинитезимального параллелепипеда (как абсолютного значения определителя компонент таких соответствующих линейным элементам определяющим ).

Пользуясь так определенной мерой объема, мы можем усреднить любую непрерывную функцию на компактной группе Ли у по всей группе При желании можно выбрать находящуюся в нашем распоряжении единицу измерения объемов так, чтобы сделать объем всей группы равным единице. Теперь мы в состоянии перенести с конечных на компактные группы Ли все примеры, рассмотренные в этом параграфе. В частности, любое непрерывное представление такой группы оставляет

инвариантной некоторую положительно определенную эрмитову форму и потому эквивалентно унитарному представлению. В ее унитарном нормальном виде представляющая матрица удовлетворяет уравнениям

и, следовательно, для характера мы при всех обстоятельствах имеем

Любое представление разлагается на неприводимые представления.

Равным образом проходит и доказательство соотношений ортогональности, принадлежащее И. Шуру (глава IV, § 1). В частности, для примитивных характеров мы получаем соотношения ортогональности

смотря по тому, - эквивалентны или нет два неприводимых представления с характерами и Поэтому кратности разложении произвольного характера равенство (1.1), могут быть определены как средние значения

Кроме того, имеем:

Это показывает, что представление с характером неправодимо в том и только в том случае, когда имеет среднее значение 1, — признак, часто применявшийся Фробениусом.

Соотношение полноты для полной системы неэквивалентных неприводимых представлений компактной группы Ли было установлено Петероми автором этой книги; построение, известное для конечной группы, пришлось в процессе приспособления к компактным непрерывным группам несколько усложнить.

Кое-где нам сильно мешало бы, если бы мера объема не была инвариантной относительно не только левых, но и правых сдвигов, т. е. относительно операций

Элемент объема заданный в точке 1, переносится с помощью левого сдвига а в точку а, затем с помощью правого сдвига обратно в точку 1. Спрашивается, сохраняет ли получающаяся в итоге операция "сопряжения" а:

неизменным объем Отнесение групповым элементам а операции (3.8) устанавливает реализацию группы, так называемую присоединенную реализацию, полем действия которой служит само групповое многообразие. Операция (3.8), оставляя точку 1 неподвижной, переводит инфинитезимальный групповой элемент в инфинитезимальный элемент и переход от линейного элемента естественно, является некоторым линейным преобразованием соответствие есть присоединенное представление. Мы поставили вопрос, является ли это представление квазиунимодулярным, т. е. будет ли

для всех элементов а. Этот вопрос решается утвердительно в силу следующей общей леммы:

Лемма Непрерывное представление компактной группы необходимо квазиунимодулярно.

Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент а компактной группы у и его представителя Предположим, что

Последовательность имеет в групповом многообразии предельную точку Вследствие равенства

при стремится к Но это противоречит тому факту, что для некоторых произвольно больших номеров число должно быть сколь угодно близко к значению Таким же способом отвергается и возможность путем рассмотрения последовательности Подстановка

превращает линейный элемент. заданный в точке 1, в следовательно, оставляет неизменным объем любого инфинитезимального параллелепипеда в точке 1. То же остается

верным и для элемента объема в любой точке а. Действительно, когда подвергается левому сдвигу обратный элемент претерпевает правый сдвиг

Тем самым наше утверждение являётся непосредственным следствием того факта, что объем инвариантен относительно как левых, так и правых сдвигов.

В случае группы линейных преобразований или матриц, инфинитезимальные элементы группы образуют -мерную линейную совокупность матриц

где произвольно выбранный ее базис. Если две бесконечно близкие матрицы из рассматриваемой группы, то есть инфинитезимальный элемент, определенный формулой (3.5), и потому компоненты вводимые формулой

служат для вычисления объема бесконечно малого параллелепипеда в А, натянутого на линейных элементов

Группа всех унитарных преобразований есть параметрическая компактная группа Ли. Инфинитезимальная унитарная матрица удовлетворяет условиям

ее вещественных параметров можно ввести с помощью подстановки (1.4):

Это сразу показывает, что для вычисления объема объемного элемента комплексные параметры могут служить так же хорошо, как и вещественные параметры

Утверждение, что присоединенное представление квази-унимодулярно, выведенное выше путем простого топологического рассмотрения для любой абстрактной компактной группы Ли, в случае групп Ли унитарных линейных преобразований допускает алгебраическое доказательство.

Лемма Пусть -унитарная матрица и -мерное линейное многообразие матриц

инвариантное относительно преобразования

Тогда это линейное преобразование оставляет инвариантной некоторую положительно определенную эрмитову форму. (Поэтому при надлежащем выборе базиса матрица становится унитарной и ее определитель необходимо равен по абсолютной величине единице.) Каждая матрица имеет "норму

положительную для всех А, за исключением Эта норма не изменяется при замене А на где унитарна:

Следовательно, выражение

для общей матрицы К, (3.10), является положительно определенной эрмитовой формой от параметров X, инвариантной относительно подстановки (3.11):

Простейшей компактной группой является группа вращений плоскости. (или, что то же, — одномерная унитарная группа). Это коммутативная однопараметрическая группа. Очевидно,

где угол вращения, для любого целого есть унитарное представление первой степени. Я утверждаю, что это — единственные неприводимые непрерывные представления, и потому

— единственные примитивные характеры. Мы получаем здесь весьма естественный подход к теории рядов Фурье. В частности, равенство Парсеваля

выполняющееся для любой непрерывной функции с периодом 1, оказывается частным случаем теоретико-группового соотношения полноты. Для доказательства нашего утверждения заметим сперва, что всякое представление эквивалентно некоторому унитарному. Вследствие коммутативности нашей группы и теоремы унитарное представление разбивается на части первой степени. Поэтому требуется лишь найти непрерывные решения следующих функциональных уравнений:

Имея такую функцию введем посредством формулы

вещественную функцию она однозначно определена лишь по но будет однозначно определенной уже в абсолютном смысле, если мы потребуем, чтобы и чтобы непрерывно изменялось вместе с Сравнение

тогда сразу заменится равенством

Действительно, разность между левой и правой частями непрерывна относительно все время остается целым числом и обращается в нуль при Из (3.14) следует, что

для всякого положительного целого и что

Так как то должно быть некоторым целым числом Полагая сперва в (3.15) устанавливаем справедливость равенства

для любой целой доли полного оборота, затем из того же уравнения и (3.16) — для любого -кратного (положительного, нулевого или отрицательного) такого т. е. для любого рационального угла наконец, по непрерывности, для всех .

Тем самым мы и приходим к требуемому равенству (3.12).

Теорию почта перцрдических функций Гаральда Бора можно рассматривать как теорию коммутативной группы одномерных сдвигов, т. е. группы вещественных чисел со сложением в качестве их композиции. Бор открыл, что на должным образом ограниченный класс функций переносятся существенные факты теории периодических функций — ортогональность и полнота. Автор настоящей книги показал, что теоретико-групповая трактовка приводит к гораздо более простому выводу центральной теоремы полноты 14.

А. Хаару удалось с помощью остроумного построения опре? делить "хорошую" меру объема на каждой локально эвклидовой компактной группе Иными словами, он освободился от стеснительных предположений дифференцируемости, входящих в понятие группы Ли.

Имея перед собой теорию компактных групп и боровский пример некомпактной группы, Нейман построил теорию "почти периодических представлений", их ортогональности и полноты для совершенно произвольной группы I). За эту общность ему, конечно, пришлось заплатить дорогой ценой: ограничением понятия функции до зачастую весьма узкой области почти периодических функций. Постараюсь изложить в нескольких словах его основную идею. Даже если наша группа является топологической, будем умышленно игнорировать ее топологию. Взамен введем искусственную топологию по отношению к заданной функции на данной группе, считая по определению, что отстоит от на расстояние если для всех групповых элементов выполняются неравенства

называется почти периодической, если группа, наделенная этой топологией, становится компактной или ограниченной, что

означает, что, как бы мало ни было групповое многообразие можно покрыть конечным числом кругов радиуса Нейман показывает, как образовать среднее значение такой функции. Как только это достигнуто, теория протекает дальше по проложенным каналам. Его теория неоспоримо представляет собой кульминационный пункт всего описанного хода идей, хотя и никоим образом не "предел всех человеческих желаний", как это шокирующе обнаруживается следующим замечанием: на группе всех невырожденных вещественных линейных преобразований единственными почти периодическими функциями являются константы. Поэтому простые представления группы получавшиеся из разложения тензорного пространства, и даже представление этой группы посредством самой себя: лежат за границами области приложимости теории Неймана! Нас устраивало бы, если бы почти периодические функции позволяли различать отдельные точки, т. е. если бы для любых двух различных элементов существовала почти периодическая функция, принимающая в этих точках различные значения. Но единственными группами, на которых имеется, в этом смысле, "достаточно много" почти периодических функций, являются прямые произведения компактных групп на некоторое число групп одномерных сдвигов (охватываемых случаем Бора). Этот результат, принадлежащий Фрейденталю 8), ясно указывает границы любой "почти периодической" теории. Я бы рискнул сказать, что почти периодичность может привести к сколько-нибудь удовлетворительному решению проблемы лишь в комбинации с унитарным приемом.

Группу у можно заменить любым точечным полем, взаимно однозначными преобразованиями которого она реализована. Точечное поле однородно относительно этой группы, если каждые две его точки можно перевести одна в другую с помощью надлежащего преобразования из группы. Все сказанное о функциях на группе остается справедливым и при этой, более общей ситуации функций на однородном многообразии, наиболее характерным и классическим примером которых служат сферические гармонические функции

Полнота системы примитивных характеров коммутативных групп нашла недавно важные применения в общей топологии Идеи, рассмотренные в этом параграфе, повидимому, лежат в пункте скрещения ряда новейших продвижений в различных областях математики.