ГЛАВА IX. СНОВА О МАТРИЧНЫХ АЛГЕБРАХ

1. Автоморфизмы

Чтобы закруглить наши исследований, мы вновь возвращаемся в этой главе к предмету раздела А главы III — изучению вполне приводимых матричных алгебр Использованный там метод может быть применен к трем относящимся к ним важным вопросам: об автоморфизмах, умножении алгебр и расширении основного поля

Возьмем простую алгебру а над ее неприводимое представление Пусть — автоморфизм алгебры а. Тогда также является неприводимым представлением этой алгебры. Но мы видели [теорема ], что имеется лишь одно, в смысле эквивалентности, такое представление. Поэтому существует неособенная матрица такая, что

для всех элементов :

Лемма Любой автоморфизм неприводимой матричной алгебры порождается некоторой постоянной неособенной матрицей Н:

Рассмотрим любую матричную алгебру Если постоянная неособенная матрица преобразует каждый элемент из в элемент

снова из , то является автоморфизмом алгебры Одновременно равенство

переводит каждый коммутатор В алгебры снова . коммутатор и тем самым определяет автоморфизм и в коммутаторной алгебре

Таким образом, мы приходим к изучению одновременных автоморфизмов алгебр . Пусть вполне приводимая матричная алгебра, а ее коммутаторная алгебра. точно так же вполне приводима, связь алгебр и взаимна, и структура их описывается теоремой Пересечение алгебр и называется центром, оно состоит из тех элементов алгебры которые перестановочны со всеми ее элементами. Если центр содержит лишь численные кратные единичного элемента то алгебра называется нормальной (и таковой же является ). Наше второе определение центра показывает, что это свойство можно приписать и абстрактной алгебре. Если фиксированная неособенная матрица порождает в и автоморфизмы

то в пределах центра они, очевидно, совпадают. Нашей целью является доказательство обратного предложения: Теорема Любые два автоморфизма

вполне приводимой матричной алгебры и ее коммутаторной алгебры совпадающие внутри центра 3, порождаются одной и той же неособенной матрицей Н:

В нашем восхождении в разделе А главы III мы впервые достигли полной взаимности между и 23 в конце § 4:

Образуем теперь линейную оболочку всех произведений

Из схем (III.4.10) общих матриц сразу заключаем, что

где есть линейная оболочка всех преобразований в

соответствующих произвольным элементам из Алгебра 2), очевидно, неприводима, поскольку содержит неприводимое множество Каждый коммутатор алгебры 2) перестановочен, в частности, с любым, и потому имеет вид

где образ единицы из Аналогично, вследствие егоперестановочности со всеми заданный коммутатор должен иметь вид Следовательно, лежит в центре алгебры есть коммутативная алгебра с делением, т. е. поле конечной степени над Расширив до , мы можем рассматривать как алгебру с делением ранга над полем 5. Центром алгебры 35 в ее конкретной форме является и применение теоремы к неприводимой алгебре 2) показывает, что

Таким образом, центр 3 алгебр и их произведение задаются формулами

Как видим из сравнения этих формул с (1.4), положение дел для пары перестановочных алгебр значительно проще, чем для алгебр

Рассмотрим сперва частный случай нормальности и 23). Тогда формула (1.5) показывает, что есть полная матричная алгебра

Лемма Пусть нормальная алгебра с делением. Линейная оболочка всех преобразований в

соответствующих произвольным элементам из 0, является полной матричной алгеброй

есть теперь полная алгебра матриц порядка

Этот результат находится в согласии с соотношением (III.4.12). Пусть.

соответственно , - линейные базисы алгебр . Мы нашли, что матрицы линейно независимы и образуют базис для Построим с помощью наших заданных автоморфизмов алгебр и соответствующий автоморфизм алгебры по формуле

относящей произведению произведение Применяя лемму к полной матричной алгебре заключаем, что этот автоморфизм порождается некоторой постоянной неособенной матрицей

которая, тем самым, удовлетворяет в частности (В или соотношениям (1.2) для всех А из и В из .

Таким образом, с помощью простого приема образования произведений нам удалось значительно уточнить лемму хотя она и вошла в наше доказательство лишь взятая для частного случая полной матричной алгебры. При комбинации тождественного автоморфизма алгебры с заданным автоморфизмом алгебры , наше будет перестановочно со всяким В и потому будет лежать в Мы выразим этот красивый результат в абстрактных терминах

Теорема ( Любой автоморфизм нормальной простой алгебры является внутренним.

Следующий шаг состоит в устранении предположения нормальности алгебр и .

образуют базис над если каждое из однозначно выражается в виде с "коэффициентами" из Если А — базисы алгебр над то каждая матрица из однозначно выражается в виде

Если (1.3) — заданные автоморфизмы алгебр и , совпадающие внутри 3: то

определяет соответствующий автоморфизм в при котором Применяя лемму к неприводимой матричной алгебре мы получаем желаемое предложение для того случая, когда состоят лишь из одного блока.

Чтобы перейти к случаю нескольких блоков, мы должны так обобщить лемму чтобы охватить прямую сумму из простых алгебр в конкретной форме

где каждая компонента независимо пробегает неприводимую матричную алгебру . По теореме каждое невырожденное представление алгебры а есть сумма

Представление (1.6), где каждое является точным. Пусть автоморфизм алгебры а. Рассмотрим представление Оно должно быть эквивалентно некоторому представлению (1.7); точность его нарушилась бы, если бы одно из было равно 0, а степень была бы слишком высока, если бы одно из было . Следовательно, все и новое представление эквивалентно старому, т. е. существует неособенная матрица такая, что

Лемма Любой автоморфизм прямой суммы неприводимых матричных алгебр,

порождается некоторой постоянной неособенной матрицей :

Обратимся наконец к произвольной вполне приводимой матричной алгебре и ее коммутаторной алгебре исследованным в теореме Снова образуем линейную оболочку 6 всех матриц

и, пользуясь вряд ли требующими пояснения обозначениями, получаем:

Применение нашей последней леммы к (а не к ) и к автоморфизму приводит к матрице , существование которой требовалось теоремой

Что касается вопроса о единственности, то заметим, что можно заменить на где любая неособенная матрица из центра

Комбинируя тождественный автоморфизм в с любым автоморфизмом в оставляющим элементы центра на месте, получаем в частности;

Теорема Любой автоморфизм прямой суммы а простых алгебр не затрагивающий элементов центра алгебры а, является внутренним.