12. Произвольная метрическая основная форма
При достигнутой нами степени общности легко заменить рассматривавшуюся до сих пор сумму квадратов
произвольной невырожденной квадратичной формой
Пусть 
матрица коэффициентов, взятых из основного поля 
характеристики 0. Линейные подстановки В над 
оставляющие инвариантной форму (12.2),
образуют группу, ортогональную группу 
с "основной метрической формой" (12.2).
Согласно лемме 
неисключительное преобразование В этого типа может быть записано в форме
где 
удовлетворяет линейному условию
Формальная инвариантность определяется в терминах этой параметризации очевидным образом.
После надлежащего присоединения квадратных корней, расширяющего 
до некоторого поля К над 
новую основную форму (12.2) можно преобразовать в (12.1) посредством некоторой подстановки 
Это осуществляется путем классического индуктивного построения декартовой системы координат, если рассматривать
как скалярное произведение. Подстановки В нашей теперешней группы получаются из ортогональных подстановок А трансформированием с помощью Н:
Однако это соответствие предполагает, что мы оперируем в расширенном поле К.
Представление (10.2) матрицы А приводит к соотношению (12.4) с
а последнее действительно превращает условие
Если 
есть формальный инвариант нашей новой группы 
над К, то 
есть формальный ортогональный инвариант над К и потому выражается через компонентные определители и скалярные произведения. Установив это, мы можем в дальнейшем снова ограничиться полем 
Особый интерес для аналитика представляет поле К всех вещественных чисел. Метрическая основная форма является тогда невырожденной квадратичной формой с вещественными коэффициентами, не обязательно положительно определенной; таким образом, здесь представляются различные возможности, описываемые сигнатурой формы. Они не причиняют никаких трудностей при исследовании соответствующих инвариантов (группа Лоренца).
