Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 16. Инвариантные дифференциалы и числа Бетти компактных групп ЛиОдним из наиболее красивых применений метода интегрирования является теория Э. Картана инвариантных дифференциалов на компактных группах Ли На дифференцируемом многообразии с координатами
зависящую от линейного элемента
предполагаемую косо-симметричной и тем самым зависящей от двумерного элемента с компонентами
натянутого на два линейных элемента поля: производной от скаляра
производная от дифференциала (16.1) ранга 1 дается формулой
и вообще, производная
(знакопеременная сумма Дифференциал со, производная которого равна нулю, называется точным. Что мы подразумеваем под записью Примем теперь, что наше многообразие есть компактная группа Ли. Дифференциал со называется инвариантным, если он Остается неизменным при левых и правых сдвигах:
Так как левыми сдвигами можно перевести начало 1 в любую другую точку, то достаточно знать инвариантный дифференциал в начале, где он является косо-симметричной полилинейной формой
с постоянными коэффициентами а, зависящей от
Поэтому инвариантные дифференциалы суть как раз те инварианты присоединенной группы, которые мы рассматривали в § 11 главы VII. Числами линейно независимых среди них для различных рангов Следующие три факта устанавливают тесную связь между рассмотрением произвольных точных дифференциалов с точностью до гомологии и инвариантных дифференциалов с точностью до равенства: Лемма (VIII.16.A). (1) Каждый инвариантный дифференциал является точным. (2) Каждый точный дифференциал гомологичен некоторому инвариантному. (3) Инвариантный дифференциал, который 0, необходимо равен 0. (1) доказывается просто прямым вычислением производной инвариантного дифференциала (2) может быть получено либо (а) интегральным, либо (b) дифференциальным способом. (а) Проинтегрируем
В частности,
Следовательно, среднее значение
будет
дифференциал, стоящий в левой части, уже двусторонне инвариантен. (Ь) Для любого инфинитезимального (3) Если инвариант
Согласно пункту (1), производная от инвариантного дифференциала Из нашей леммы следует, что число Бетти, т. е. число точных дифференциалов, линейно независимых в смысле гомологии, равно числу инвариантных дифференциалов, линейно независимых в смысле равенства. Отсюда: Теорема (VIII. 16.В). Коэффициенты полинома Пуанкарэ компактной группы Ли дают ее числа Бетти. Из этой связи легко извлекается совершенно неожиданный запас сведений относительно чисел Бетти
С другой стороны, пусть
— любые
определяет тогда инвариантную форму ранга
многообразие размерности Таким образом, Рассматривая те из линейных инвариантов ранга Что касается унитарно ограниченных классических групп, то их числа Бетти 1231 определяются из явных формул для их полиномов Пуанкарэ, теоремы (VH.11.A) и (VII.11.С).
|
1 |
Оглавление
|