16. Инвариантные дифференциалы и числа Бетти компактных групп Ли

Одним из наиболее красивых применений метода интегрирования является теория Э. Картана инвариантных дифференциалов на компактных группах Ли . В заключение этой главы мы дадим общий очерк основных идей этой теории.

На дифференцируемом многообразии с координатами можно рассматривать скалярное поле или дифференциальную линейную форму

зависящую от линейного элемента или дифференциальную линейную форму ранга 2,

предполагаемую косо-симметричной и тем самым зависящей от двумерного элемента с компонентами

натянутого на два линейных элемента Продолжая так дальше, мы образуем в дифференциалы рангов Дифференциальные формы указывают, как следует преобразовывать их коэффициенты при переходе к другим координатам. Существует процесс дифференцирования, не зависящий от системы координат и хорошо знакомый всякому, кто когда-либо изучал максвелловскую теорию электромагнитного

поля: производной от скаляра является градиент

производная от дифференциала (16.1) ранга 1 дается формулой

и вообще, производная от формы с косо-симметричными компонентами имеет компоненты

(знакопеременная сумма членов). Дифференцирование повышает ранг формы на 1. Дифференциал ранга может быть проинтегрирован по -цепи Общая теорема Стокса устанавливает, что интеграл от производной по -цепи равен интегралу от по р-циклу ограничивающему

Дифференциал со, производная которого равна нулю, называется точным. Что мы подразумеваем под записью гомологично нулю), можно пояснить двумя путями либо дифференциально, как указание, что со есть производная от дифференциала ближайшего низшего ранга, либо интегрально, как требование, чтобы интеграл от со по любому циклу был равен нулю. Каждый дифференциал является точным; это легко доказывается обоими способами. Понятия дифференциала, точного и совпадают "в малом", но не в большом. Изучение точных дифференциалов и их гомологий является оборотной или контрагредиентной стороной изучения циклов, в котором место границы занимает производная. Некоторые недавние продвижения в основаниях топологии были достигнуты путем выдвижения аспекта двойственности и "топологизации" этих операций с дифференциалами. Во всяком случае, число Бетти может быть истолковано как число точных дифференциалов ранга линейно независимых в смысле гомологии

Примем теперь, что наше многообразие есть компактная группа Ли. Дифференциал со называется инвариантным, если он Остается неизменным при левых и правых сдвигах:

Так как левыми сдвигами можно перевести начало 1 в любую другую точку, то достаточно знать инвариантный дифференциал в начале, где он является косо-симметричной полилинейной формой

с постоянными коэффициентами а, зависящей от инфинитезимальных групповых элементов Требование инвариантности и относительно правых сдвигов означает, что форма (16.2) инвариантна относительно присоединенной группы

Поэтому инвариантные дифференциалы суть как раз те инварианты присоединенной группы, которые мы рассматривали в § 11 главы VII. Числами линейно независимых среди них для различных рангов служат коэффициенты полинома Пуанкарэ, вычисляемого по формуле (VII. 11.2).

Следующие три факта устанавливают тесную связь между рассмотрением произвольных точных дифференциалов с точностью до гомологии и инвариантных дифференциалов с точностью до равенства:

Лемма (VIII.16.A). (1) Каждый инвариантный дифференциал является точным.

(2) Каждый точный дифференциал гомологичен некоторому инвариантному.

(3) Инвариантный дифференциал, который 0, необходимо равен 0.

(1) доказывается просто прямым вычислением производной инвариантного дифференциала

(2) может быть получено либо (а) интегральным, либо (b) дифференциальным способом.

(а) Проинтегрируем дифференциал, получающийся из с помощью левого сдвига по заданному -циклу С. Очевидно, имеем

получается из С непрерывной деформацией посредством перехода от 1 к вдоль непрерывного пути. Интеграция точного дифференциала со по любым двум циклам диформируемым один в другой, приводит к одному и тому же интегралу:

В частности,

Следовательно, среднее значение

будет . Дифференциал лево-инвариантен. Подвергая правым сдвигам, таким же способом получаем, что

дифференциал, стоящий в левой части, уже двусторонне инвариантен.

(Ь) Для любого инфинитезимального легко можно определить инфинитезимальный дифференциал ранга так, чтобы получилось

(3) Если инвариант является производной, то есть производная от тем самым — и от инварианта

Согласно пункту (1), производная от инвариантного дифференциала равна нулю.

Из нашей леммы следует, что число Бетти, т. е. число точных дифференциалов, линейно независимых в смысле гомологии, равно числу инвариантных дифференциалов, линейно независимых в смысле равенства. Отсюда:

Теорема (VIII. 16.В). Коэффициенты полинома Пуанкарэ компактной группы Ли дают ее числа Бетти.

Из этой связи легко извлекается совершенно неожиданный запас сведений относительно чисел Бетти компактной -параметрической группы Ли. Так как число линейно независимых косо-симметричных полилинейных форм (16.2), безразлично — инвариантных относительно присоединенной группы или нет, равно биномиальному коэффициенту то имеем:

С другой стороны, пусть

— любые инвариантных форм ранга 1. Равенство

определяет тогда инвариантную форму ранга В то время, как формы (16.3) изменяются в линейном многообразии размерности эти специальные формы (16.4) ранга пробегают

многообразие размерности Таким образом,

Рассматривая те из линейных инвариантов ранга которые получаются из любой пары инвариантных форм рангов путем умножения (определенного в § 11 главы VII), получим дальнейшие неравенства того же типа.

Что касается унитарно ограниченных классических групп, то их числа Бетти 1231 определяются из явных формул для их полиномов Пуанкарэ, теоремы (VH.11.A) и (VII.11.С).