5. Инварианты и коварианты

Пусть задана группа линейных преобразований в -мерном векторном пространстве Функция зависящая от нескольких векторных аргументов

из переходит в функцию когда переводятся линейным преобразованием

Как и должно быть, мы имеем тогда Если для всех подстановок из нашей группы то функция называется инвариантом группы В этом смысле скалярные произведения суть ортогональные векторные инварианты. Мы будем заниматься исключительно алгебраическим случаем, когда есть полином, однородный относительно компонент каждого векторного аргумента, и поэтому называется инвариантной формой. Степени формы относительно могут как совпадать, так и не совпадать.

С этим элементарным понятием мы сопоставим в порядке контраста общее понятие инварианта. Тогда как первое связано с заданной группой линейных преобразований А, последнее определяется по отношению к заданной абстрактной группе и нескольким ее представлениям, имеющим соответственно степени

Функция зависящая от произвольной величины х типа , далее, величины у типа будет определенной функцией от численных векторов

в заданной системе отнесения и определенной функцией в другой системе отнесения, в которой те же величины, служащие аргументами, имеют компоненты

Преобразованную функцию мы будем обозначать через где — переход от первой системы отнесения ко второй:

Наша функция есть инвариант, если ее алгебраическое выражение не зависит от системы отнесения: для всех элементов группы Тот, кто из соображений математического пуризма желает исключить из определения "системы от

несения" и "величины", предпочитая им групповые элементы и численные векторы, назовет функцию численных векторов инвариантом относительно заданных представлений группы у, если

Ясно, что элементарный случай "векторных инвариантов" подпадает под эту общую схему.

В классической теории инвариантов у есть специальная (или унимодулярная) линейная группа а величины х,у,.., служащие аргументами, суть произвольные формы от переменных. Мы разъяснили перед концом предыдущего параграфа, как такие формы интерпретировать как особого типа величины. Обычная точка зрения классической теории несколько разнится от этой, в том отношении, что она придает значение не самим переменным и коэффициентам форм, но лишь их отношениям, поскольку значения переменных рассматриваются как однородные координаты точки в проективном -мерном пространстве, а не как компоненты вектора в аффинном -мерном пространстве. Обращение заданной формы в нуль определяет алгебраическое многообразие измерений; обращение в нуль инварианта зависящего от нескольких таких произвольных форм, определяет проективно инвариантное алгебраическое соотношение между соответствующими многообразиями.

Особого упоминания заслуживает одно специальное обобщение элементарной концепции, а именно, тот случай, когда аргументами служат некоторое число ковариантных векторов и некоторое число контравариантных векторов В то время как преобразуются когредиентно с любой подстановкой А из группы каждый из векторов подвергается контрагредиентному преобразованию А. Произведение является наиболее важным инвариантом этого типа, как для полной линейной группы так и для любой ее подгруппы Изучение таких функций включено нами в главу о векторных инвариантах по той причине, что здесь, как и в самом элементарном случае, мы имеем, дело с одной заданной группой линейных подстановок, а не с абстрактной группой у и рядом ее представлений. (Если — координаты точек в проективном -мерном пространстве, то -координаты плоскостей, и обратно.)

Возвращаясь к общему случаю, остановимся особо на формах имеющих предписанные степени

относительно величин х,у,..., служащих аргументами. Эти формы суть линейные комбинации

одночленов предписанных степеней,

Показатели степеней суть, конечно, неотрицательные целые числа. Когда компоненты подвергаются линейному преобразованию компоненты преобразованию наши одночлены подвергаются некоторому составному преобразованию определяющему составное представление степени Тем самым инвариантные формы превращаются в линейные инварианты одной величины типа Однако следует подчеркнуть то обстоятельство, что эта линеаризация проблемы инвариантов возможна лишь, если мы изучаем инвариантные формы с предписанными степенями

Линейные инварианты величины заданного типа образуют подпространство -мерного пространства всех линейных форм от х. Если I — размерность этого подпространства, то мы имеем точно I линейно независимых линейных инвариантов. Беря их в качестве первых I координат произвольного х в новой системе координат, мы достигаем приведения представления к виду

есть максимальная степень, с которой единичное представление содержится в . Если, в частности, имеет место теорема о полной приводимости, то мы можем описать I как максимальную кратность, с которой тождественное представление входит в .

Инвариант можно описать как скаляр, зависящий от нескольких произвольных величин предписанных типов. Если результат преобразования отличается от постоянным множителем

то называется относительным инвариантом с мультипликатором остается при этом инвариантным соотношением между переменными величинами В отличие от относительных инвариантов, инварианты в первоначальном смысле называют абсолютными инвариантами. Мультипликатор есть представление степени 1. Еще более обще, ковариант типа есть величина этого типа, зависящая от аргументов х, у, .. являющихся соответственно величинами заданных типов По отношению к заданной системе отнесения, будет иметь компонент

совершенно так же как имеют компоненты (5.3). После осуществления перехода к другой системе отнесения новыми компонентами, получающимися из старых посредством линейного преобразования будут поэтому, если положить

с

должно выполняться равенство

Система уравнений

имеет тогда инвариантный смысл, не зависящий от системы отнесения.

В качестве иллюстрации к относительным инвариантам рассмотрим классический случай, когда есть полная линейная группа состоящая из линейных преобразований

а величинами, входящими в качестве аргументов в являются произвольные формы заданной степени от переменных При этих условиях будет однородным полиномом от переменных поэтому для частного преобразования

мультипликатор будет равен с неотрицательным целым показателем Применяя соотношение

к преобразованию А и преобразованию элементами которого служат миноры матрицы А:

где есть определитель преобразования А, получим

Но так как есть неприводимый полином от переменных полином, как и то из (5.7) с необходимостью следует, что есть степень определителя :

Целый показатель называется весом относительного инварианта. Вследствие формулы (5.8), относительные инварианты полной линейной группы являются абсолютными инвариантами унимодулярной группы

Основываясь на этих общих понятиях относительно полей, векторов, групп, представлений, мы приступим теперь к изучению алгебраических векторных инвариантов наиболее важных групп, особенно полной и унимодулярной линейных групп, и ортогональной группы, или для измерений.