Глава III. МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА

А. ТЕОРИЯ ВПОЛНЕ ПРИВОДИМЫХ МАТРИЧНЫХ АЛГЕБР

1. Основные понятия, относящиеся к матричным алгебрам. Лемма Шура

При рассмотрении какого-либо множества матриц А над естественно ввести его линейную оболочку [31] над состоящую из всех конечных линейных комбинаций

матриц из с коэффициентами из Абстрактно говоря, линейная оболочка есть линейная совокупность (или векторное пространство) определенного ранга означает максимальное число матриц из , линейно независимых над Если некоторое подпространство -мерного векторного пространства (над k), подвергающегося действию матриц А, инвариантно относительно множества , то оно инвариантно и относительно []; поэтому во всех рассмотрениях, относящихся к инвариантным подпространствам и приведению, можно с удобством заменять его линейной оболочкой []. Если — группа, то [] будет замкнуто относительно следующих трех операций: сложения двух матриц, умножения матрицы на число из и умножения двух матриц. Такая совокупность называется (матричной) алгеброй над обертывающей алгеброй группы Наше утверждение остается в силе и тогда, когда есть лишь полугруппа, под этим мы понимаем совокупность матриц, замкнутую относительно умножения (отбрасывая дополнительные предположения, характерные для собственно группы, а именно, что она содержит единичную матрицу, что каждая из ее матриц — неособенная и что входит в группу вместе с ). Отправляясь от произвольной совокупности матриц, мы можем сперва образовать ее мультипликативное замыкание, состоящее из всех конечных произведений и являющееся полугруппой, а затем перейти к его линейной оболочке: в результате этих двух шагов мы придем к обертывающей алгебре совокупности .

Совершенно так же, как и при переходе от группы (линейных) преобразований к абстрактной групповой схеме, можно игнорировать природу элементов, составляющих матричную алгебру, и фиксировать наше внимание исключительно на производимых над ними операциях. Тогда (абстрактная) алгебра а над выступает как совокупность элементов а, для которых определены три операции: сложение и умножение двух элементов а также умножение элемента а на число X из Но на протяжении этой книги мы будем рассматривать как основной наш объект матричные алгебры; абстрактные схемы будут лишь средством, облегчающим их изучение. Мы условимся применять замену прописных букв соответственными строчными: как А на а, 21 на а, для указания перехода от матриц к абстрактным элементам. Обратно, матричная алгебра является точным представлением абстрактной алгебры а. -представлением степени алгебры а называется любое соответствие сопоставляющее элементам а заданной абстрактной алгебры а матрицы порядка и сохраняющее основные операции:

Представление является точны и, если различные элементы а представляются различными-матрицами Определяющие операции алгебры а подчиняются следующим законам, где с обозначают произвольные элементы из произвольное число из

(1) Все аксиомы, характеризующие векторное пространство над (конечной размерности И).

(2) Закон дистрибутивности по обоим множителям,

дополненный соотношениями

(3) Закон ассоциативности

Мы говорим, что алгебра содержит единицу если имеется Элемент удовлетворяющий соотношениям

для всех элементов а (единица определена тогда однозначно). Алгебра а, содержащая единицу, называется алгеброй с, делением, если каждый элемент обладает обратным

Если, кроме того, умножение коммутативно, то алгебра с делением будет полем, конечным над

Как и в случае групп, мы можем каждому элементу а из а поставить в соответствие линейное преобразование

применяемое к переменному элементу из а. Алгебра а ранга выступает здесь в двух ролях: 1) как совокупность элементов а, которым соответствуют преобразования ) как -мерное векторное пространство подвергаемое этим преобразованиям. Соответствие (а): определяет представление, так называемое регулярное представление, так как

степень регулярного представления есть ранг алгебры. С алгебрами дело обстоит значительно благополучнее, чем с группами, поскольку описанный способ дает настоящее представление линейными преобразованиями, а не только лишь реализацию посредством каких-то преобразований в общем неопределенном функциональном смысле. Регулярное представление будет точным, если алгебра а содержит единицу или, более общее, если О является единственным элементом а, удовлетворяющим соотношению для всех элементов х.

Матрица А, перестановочная с каждым членом заданного множества матриц

называется коммутатором этого множества Коммутаторы множества над образуют -алгебру матриц коммутаторную алгебру множества над Действительно, из

следует

и

— число из В доказательстве нуждается лишь второе из этих следствий; имеем:

всегда коммутатор; и если неособенная матрица А есть коммутатор, то коммутатором является и действительно, равенство можно переписать в виде Шуру принадлежит следующее предложение первостепенной важности:

Лемма Если множество 2 неприводимо над то каждый коммутатор этого множества либо равен нулю, либо является неособенной матрицей, иными словами, коммутаторная алгебра множества есть алгебра с делением.

Доказательство. Линейное преобразование отображает наше векторное пространство на подпространство совокупность всех векторов-образов Вследствие предположенной перестановочности матрицы А со всеми элементами множества для всякого такого из следует Поэтому инвариантно относительно согласно дополнительному предположению о неприводимости множества есть либо нуль, либо все пространство В первом случае во втором А — неособенная матрица.

Понятие коммутаторов и эта лемма имеют прямое отношение к проблеме ковариантов заданного типа рассматривавшейся в конце главы Предположим неприводимым, так что наши коварианты являются примитивными величинами. Компоненты их суть формы предписанных степеней относительно каких-то аргументов — величин Все такие формы образуют линейную совокупность — векторное пространство размерность которого определяется формулой (1.5.4). Первое наше замечание заключается в том, что компоненты либо все равны нулю, либо линейно независимы. Действительно, системы из коэфициентов дающих тождественные соотношения

образуют векторное пространство, инвариантное относительно представления, контрагредиентного к т. е., вследствие неприводимости либо все пространство либо нулевое пространство линейно независимы). Если мы имеем несколько

ковариантов типа ,

то на компонент каждого из этих ковариантов натянуто -мерное подпространство пространства Пространство из этой последовательности либо целиком содержится в сумме предшествующих ему -либо линейно независимо от них. Это устанавливается стандартным рассуждением, которое неоднократно будет применяться в дальнейшем: пересечение пространства с указанной суммой инвариантно и, следовательно, в силу неприводимости есть либо нуль, либо все Поэтому можно определить полную совокупность инвариантов типа

так, что все компонент

будут линёйно независимы, компоненты же любого коварианта типа будут линейными их комбинациями:

Вытекающее отсюда равенство

в менее абстрактной форме записывается так:

где соответствующая матрица из Таким образом,

откуда, в силу линейной независимости всех

Иными словами, матрицы лежат в коммутаторной алгебре неприводимой совокупности и каждая из них есть либо нуль, либо неособенная матрица. Более симметричная формулировка этого результата такова:

Теорема Если заданные коварианты неприводимого типа то либо их компонент

не связаны никакая линейным соотношением, либо мы имеем соотношение

где матрицы А принадлежат коммутаторной алгебре совокупности и по крайней мере одна из них не равна О.

Особенно просто обстоит дело, если основное поле алгебраически замкнуто, т. е. если каждый -полином

степени от одного неизвестного имеет в корень а и потому распадается на линейных множителей Так называемая основная теорема алгебры утверждает, что область обычных комплексных чисел алгебраически замкнута. При таком поле лемма Шура принимает более простой вид:

Лемма Единственными коммутаторами А -неприводимого множества матриц над алгебраически замкнутым полем являются численные кратные единичной матрицы.

Действительно, каково бы ни было число будет коммутатором вместе с А. Если взять в качестве а корень характеристического уравнения

то этот коммутатор будет особенным и значит, по лемме Шура, будет равен 0.

Отсюда следует, что при алгебраически замкнутом поле либо все компоненты нескольких ковариантов одного и того же примитивного типа линейно независимы, либо имеется нетривиальное соотношение вида

Другими словами, либо одновременно выполняется соотношений

либо между компонентами нет никакого соотношения вообще (разумеется, исключая в обоих случаях тривиальное соотношение, все коэффициенты которого равны нулю). Эти рассмотрения, очевидно, являются существенным дополнением к общему понятию коварианта.

Существует еще один вариант леммы Шура, относящийся к двум неэквивалентным неприводимым множествам матриц Мы снова оперируем в произвольном поле Для того чтобы наиболее общим способом установить то соответствие между двумя множествами матриц, на которое опирается понятие эквивалентности, мы предположим, что нам дано произвольное множество а элементов а и что каждому а соответствует матрица порядка кроме того, матрица порядка Эквивалентность имеет место, если порядки равны, и если существует неособенная матрица В такая, что

Лемма Если множества, неприводимы а не эквивалентны, то не существует никакой матрицы В (из строк и столбцов), кроме , для которой бы

тождественно относительно а.

Доказательство. Пусть векторные пространства, подвергаемые, соответственно, преобразованиям Матрицу В можно истолковать как линейное отображение пространства Линейное подпространство пространства состоящее из всех векторов вида инвариантно, так как где . В силу предположенной неприводимости пространства имеются лишь две возможности: либо для всех из т. е. либо отображается с помощью В на все пространство . С другой стороны, совокупность всех векторов из для которых является инвариантным подпространством в так как Из неприводимости заключаем: либо для всех из т. е. либо является в единственным вектором, для которого так что различные векторы из переходят при отображении В в различные векторы из Поэтому, если заключаем, что В определяет взаимно однозначное линейное отображение пространства на Но это означает, что В есть неособенная квадратная матрица и значит эквивалентны, что, однако, противоречит предположению. Пусть теперь

будут несколько множеств ковариантов, заданных, выписанных перед ними, неприводимых и неэквивалентных типов и предположим снова, что, за пропуском все компоненты ковариантов линейно независимы. Здесь опять имеются лишь две возможности: либо каждая компонента коварианта является линейной комбинацией компонент остальных ковариантов, либо таблица компонент даже после присоединения состоит из независимых членов. В первом случае мы будем иметь соотношение вида

Если

то получаем

Поэтому принадлежат коммутаторной алгебре множества тогда как согласно нашей новой лемме все суть нули. Полученный результат можно сформулировать более симметричным образом:

Теорема Если суть множества ковариантов заданных неприводимых и. не эквивалентных типов то либо их компоненты линейно независимы, либо по крайней мере одно из этих множеств, скажем, первое, связано соотношением

где - коммутаторы множества один из которых не равен 0.