2. Векторное пространство

Следующим фундаментальным понятием, с которым мы должны вполне освоиться с самого начала, является понятие векторного пространства Векторное пространство есть -линейная совокупность элементов, называемых векторами, т. е. область, в которой сложение векторов и умножение вектора на число из являются допустимыми операциями, удовлетворяющими хорошо известным правилам векторной геометрии векторов образуют систему координат или базис, если они линейно независимы, но присоединение к ним любого другого вектора уже нарушает линейную независимость. При этих предположениях каждый вектор однозначно представляется в форме

где числа суть "компоненты" вектора Число не зависит от выбора системы координат и называется размерностью векторного пространства Переход к другой системе

координат осуществляется с помощью невырожденного линейного преобразования А, описываемого матрицей следующим образом:

Матрица невырожденного линейного преобразования есть неособенная матрица, т. е. матрица, определитель которой, или отличен от нуля; обратное преобразование переводит столбец из чисел х обратно в столбец х. Записывая компоненты в виде столбца (матрицы из строк и одного столбца), мы можем представить (2.2) в сокращенной матричной записи

Существует и другое истолкование этого или, лучше, видоизмененного равенства состоящее в том, что это равенство описывает линейное отображение пространства на себя в фиксированной системе координат. В этом случае мы не обязаны предполагать матрицу А неособенной. Отображение переводящее каждый вектор у в некоторый вектор линейно, если оно переводит

(a - любое число из k). Если такое отображение заменяет базисные векторы нашей системы координат на

то оно переводит

где

Тождественное отображение представляется единичной матрицей

Линейное отображение заданное в некоторой системе координат формулой (2.4), в другой системе координат, в

которой вектор х имеет компоненты у, определяемые соотношением

где неособенная матрица, выражается формулой

в этом легко убедиться, комбинируя (2.4) и (2.5) с соотношением

Поэтому матрица А заменяется матрицей получающейся из 4, как мы будем говорить, "трансформированием с помощью как

то отсюда следует, что характеристический полином

от неизвестной X не зависит от системы координат; в частности, не зависят от системы координат след

и определитель

Квадратная матрица А из строк и столбцов называется матрицей порядка.

В алгебраической модели -мерного векторного пространства вектор означает просто ряд из чисел;

Эти числа суть координаты вектора х относительно "абсолютной системы координат"

Нашими рассмотрениями установлен тот простой факт, что каждое -мерное векторное пространство, определенное в общем аксиоматическом смысле, изоморфно этой единой алгебраической модели.

Линейную форму зависящую от векторного аргумента можно определить без привлечения системы координат с помощью функциональных соотношений

Выражением ее в терминах системы координат будет линейная форма в алгебраическом смысле от компонент вектора

с постоянными коэффициентами Аналогично может быть определена и полилинейная форма , зависящая от -векторных аргументов При отождествлении она приводит к форме степени от одного векторного аргумента Тем же способом получается из каждой формы в которую превращается если подвергнуть ее аргументов подстановке и потому, в частности, из симметричной формы

где сумма распространяется на все подстановок Связь этих замечаний с рассмотрениями относительно алгебраических форм в конце первого параграфа ясна. Что такое форма степени значительно легче описать без помощи системы координат, а именно путем перехода через соответствующие полилинейные формы. Определение поляризованной формы с помощью разложения по степеням параметра показывает, что поляризация инвариантна относительно замены координат. Естественным обобщением является изучение форм имеющих по отношению к различным своим векторным аргументам предписанные степени В применении к алгебраической модели векторного пространства наши независящие от нее определения показывают, что форма степени переходит в такую же форму при любом линейном преобразовании (2.3); то же самое справедливо для формы, зависящей от нескольких рядов переменных (1.13), каждый из которых подвергается тому же преобразованию (2.3), что и х.

Пусть в -мерном векторном пространстве задано -мерное линейное подпространство Систему координат подпространства можно дополнить векторами до базиса всего пространства По отношению

к этому базису, приуроченному к векторы х из суть те, у которых последние компонент обращаются в нуль:

Поэтому универсальная алгебраическая модель для этой ситуации описывается так: векторы пространства суть ряды из чисел векторы подпространства суть ряды из чисел специального вида Фактор пространство есть -мерное векторное пространство, в которое превращается если отождествить любые векторы сравнимые по модулю т. е. векторы, разность которых лежит в

разлагается на два линейных подпространства:

если каждый вектор единственным способом расщепляется на сумму вектора из и вектора из Однозначность разложения обеспечивается, если единственным разложением нуля:

является т. е. если подпространства линейно независимы (не имеют ни одного общего вектора, кроме нулевого). Базис для в соединении с базисом для образуют систему координат для всего пространства (координаты, приуроченные к заданному разложению); поэтому сумма размерностей подпространств и равна размерности пространства По отношению к такой системе координат векторы из и имеют, соответственно, вид

Слово "сумма" (но никогда не "разложение") будет иногда употребляться и в тех случаях, когда единственность или линейная независимость не имеют места. Процесс суммирования (независимых) подпространств легко распространяется на случай более чем двух слагаемых:

независимость означает, что является единственным разложением для на компоненты, лежащие в подпространствах

Если линейное отображение А переводит каждый вектор подпространства в вектор того же подпространства, то называется инвариантным относительно А, и отображение А подпространства на себя называбтся преобразованием, "индуцированным" в отображением А. Если система координат приурочена к подпространству то матрица А имеет вид

где матрица порядка индуцированная матрицей А в подпространстве тогда как можно истолковать как матрицу соответствующего преобразования факторпространства В случае разбиения на два подпространства каждое из которых инвариантно относительно А, матрица А в системе координат, приуроченной к этому разложению, имеет вид

Хорошо известно, как матрицы заданной степени складываются, умножаются на числа и друг на друга; умножение ассоциативно, но не коммутативно. Транспонированная матрица для матрицы будет обозначаться через

Это — матрица подстановки

где обозначает строку из чисел Столбец из чисел будет называться ковариантным, а строка — контравариантным вектором. Из них можно образовать произведение

являющееся однострочной квадратной матрицей или числом. Если под влиянием перехода к новой системе координат х подвергается невырожденному преобразованию то будет подвергаться контрагредиентному преобразованию

так что останется неизменным:

Мы рассматриваем ковариантные и контравариантные векторы как векторы в двух различных "двойственных" пространствах Преобразование координат в одном из них автоматически вызывает контрагредиентное преобразование координат в другом, так что произведение имеет инвариантный смысл. Отображение инвариантным образом связано с отображением в двойственном пространстве:

т. е. произведение на х равно произведению на образ V вектора х,