Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2. Векторное пространствоСледующим фундаментальным понятием, с которым мы должны вполне освоиться с самого начала, является понятие векторного пространства
где числа координат
Матрица
Существует и другое истолкование этого или, лучше, видоизмененного равенства
(a - любое число из k). Если такое отображение заменяет базисные векторы нашей системы координат на
то оно переводит
где
Тождественное отображение
Линейное отображение которой вектор х имеет компоненты у, определяемые соотношением
где
в этом легко убедиться, комбинируя (2.4) и (2.5) с соотношением
Поэтому матрица А заменяется матрицей получающейся из 4, как мы будем говорить, "трансформированием с помощью
то отсюда следует, что характеристический полином
от неизвестной X не зависит от системы координат; в частности, не зависят от системы координат след
и определитель
Квадратная матрица А из В алгебраической модели
Эти числа суть координаты вектора х относительно "абсолютной системы координат"
Нашими рассмотрениями установлен тот простой факт, что каждое Линейную форму
Выражением ее в терминах системы координат будет линейная форма в алгебраическом смысле от компонент
с постоянными коэффициентами
где сумма распространяется на все Пусть в к этому базису, приуроченному к
Поэтому универсальная алгебраическая модель для этой ситуации описывается так: векторы пространства
если каждый вектор
является
Слово "сумма" (но никогда не "разложение") будет иногда употребляться и в тех случаях, когда единственность или линейная независимость не имеют места. Процесс суммирования (независимых) подпространств легко распространяется на случай более чем двух слагаемых:
независимость означает, что Если линейное отображение А переводит каждый вектор подпространства
где
Хорошо известно, как матрицы заданной степени
Это — матрица подстановки
где
являющееся однострочной квадратной матрицей или числом. Если под влиянием перехода к новой системе координат х подвергается невырожденному преобразованию
так что
Мы рассматриваем ковариантные и контравариантные векторы как векторы в двух различных "двойственных" пространствах
т. е. произведение на х равно произведению
|
1 |
Оглавление
|