5. Вполне приводимая матричная алгебра и ее коммутаторная алгебра

Следующим предметом нашего изучения будет естественное обобщение матричных алгебр: элементами а будут теперь совокупности занумерованных матриц над

где каждая компонента есть матрица предписанного порядка Такие элементы можно складывать, перемножать между собой и умножать на числа из выполняя эти действия над отдельными компонентами. Исследуем алгебры а над состоящие из таких элементов а. Каждая компонента, например определяет предстгвление алгебры Применив простой прием записи наших элементов в форме

вместо (5.1), мы могли бы остаться и в пределах матричных алгебр. Докажем следующее предложение:

Теорема (111.5. А). Если компонентные представления алгебры а, образованной элементами вида (5.1), неприводимы и неэквивалентны, то компоненты независимы друг от друга. Регулярное представление алгебры а разлагается тогда на неприводимые части, каждая из которых эквивалентна одному из компонентных представлений.

Утверждаемая "независимость" может быть сформулирована различными способами. Пожалуй, проще всего сказать, что если

содержится в а, то это же верно и для

Иными словами, когда а изменяется в а, то каждая компонента независимо пробегает всю ее область значений . Или еще: а есть прямая сумма алгебр

Доказательство точно следует плану, принятому в доказательстве теоремы а есть векторное пространство В неприводимом инвариантном подпространстве пространства снова выделяем элемент 0. По крайней мере одна из компонент скажем отлична от нуля. Выбираем тогда снова вектор для которого и заключаем, что подобно. пространству первой компоненты, т. е. пространству представления , (или, что представление, индуцируемое регулярным представлением в эквивалентно Теперь делаем следующее простое замечание: ни для какого элемента а из вторая компонента не может быть отлична от нуля. Действительно, в противном случае, исходя вместо из такого а, мы нашли бы, что подобно пространству второй компоненты, что, однако, невозможно вследствие предположенной неэквивалентности представлений и . Разложив на неприводимые инвариантные подпространства объединяем те из них которые подобны пространству первой компоненты, те, которые подобны пространству второй компоненты, и т. д. Согласно нашему последнему замечанию, это означает, что (5.3) разбивается на члены из а вида

Но их сумма равна (5.3), следовательно и мы пришли, таким образом, к требуемому результату (5.4).

Рассмотрим в заключение -алгебру а матриц над разложимую на неприводимые части. Если эквивалентные из них записывать одинаковым образом, то общий элемент а разобьется на "блоки" вида

где

— неприводимые и взаимно неэквивалентные представления. Лемма второй вариант леммы Шура — тогда показывает, что каждый коммутатор В алгебры а разбивается на блоки такого же размера. На каждый же отдельный блок распространяется положение, установленное нами в конце предыдущего параграфа: блоку заданной алгебры соответствует блок в коммутаторной алгебре некоторая алгебра с делением. Наше предложение относительно алгебр, образованных элементами вида (5.1), показывает, что заданная алгебра есть прямая сумма блоков:

В том же смысле имеем

и, применяя к то же рассуждение, а именно, в сущности, лемму Шура, легко устанавливаем, что есть коммутаторная алгебра алгебры . Если бы некоторые блоки алгебры не были независимыми, то коммутаторная алгебра алгебры была бы существенно шире, чем Таким образом, наше исследование увенчивается следующей теоремой:

Теорема (III.5.B). Если -алгебра матриц над разлагается на неприводимые части, то это же верно и для ее коммутаторной алгебры . Обратно, служит коммутаторной алгеброй для . Строение алгебр и описывается одновременными эквивалентностями

где взаимно инверсные (абстрактные) алгебры с делением.

Вряд ли необходимо особо упоминать, что содержит единичную матрицу Матрицы алгебр и имеют порядок где ранг алгебры ранги алгебр суть соответственно

Таким образом, при всех обстоятельствах

Как абстрактная алгебра, тождественна алгебре а элементов

где каждое независимо пробегает неприводимое множество матриц порядка или, еще более абстрактно,

где пробегает простую алгебру (а — прямая сумма алгебр В том же смысле центр алгебры а есть прямая сумма центров алгебр которые в свою очередь изоморфны центрам соответствующих алгебр с делением Согласно результатам, полученным для любого неприводимого множества, вида регулярное представление (а) расщепляется на раз взятое плюс раз взятое плюс... Кратность с которой входит каждая неприводимая составляющая является делителем порядка матриц этой составляющей:

Используя общее предложение заключаем:

Теорема Всякое невырожденное представление абстрактной схемы а вполне приводимой матричной алгебры разлагается на неприводимые составляющие, каждая из которых эквивалентна одному из В частности, кратность, с которой эта составляющая входит в регулярное представление алгебры а, есть число из теоремы делитель порядка определенный равенством (5.6).

Непосредственным следствием нашего окончательного результата является следующий критерий, впервые плодотворно использованный Брауэром:

Теорема Обертывающая алгебра вполне приводимого множества матриц есть коммутаторная алгебра коммутаторной алгебры множества

Под полной приводимостью мы понимаем, что множество матриц разлагается на неприводимые части.

Действительно, обертывающая алгебра множества расщепляется тем же способом, что и само и ее части, содержат больше, чем соответствующие части множества тем более

неприводимы. Каждый коммутатор В множества является коммутатором и для Следовательно, применима теорема есть коммутаторная алгебра совокупности 33 всех коммутаторов В множества