3. Ортогональные преобразования, эвклидова векторная геометрия

Ортогональное преобразование есть преобразование (2.4), оставляющее инвариантной квадратичную форму

Это равносильно уравнению

для А, откуда сразу следует

так как связь между матрицей А и обратной матрицей взаимна. Иначе это можно выразить, сказав, что ортогональная матрица тождественна с контрагредиентной к ней. Что же касается определителя ортогональной матрицы, то из (3.2) следует, что квадрат его равен 1, откуда

Соответственно двум этим случаям говорят о собственно или несобственно ортогональном преобразовании.

Пусть означает умноженный на определитель матрицы, получающейся из А по удалении -той строки и столбца. Хорошо известные тождества

показывают, что для неособенной матрицы А отношение есть элемент обратной матрицы с индексами поэтому контрагредиентной матрицей для А служит

Отсюда следует, что для собственно или несобственно ортогонального преобразования А имеем соответственно

Минор

будем обозначать символом

В теории определителей доказывается следующее тождество, связывающее миноры матриц и

здесь и

четные перестановки индексов В частности,

Для ортогональной матрицы комбинируя (3.5) с (3.4), находим:

где верхний знак снова имеет место для собственно, а нижний — для несобственно ортогональных преобразований. Эти простые формальные соотношения понадобятся нам дальше.

Каждому известна роль, которую играют ортогональные преобразования в наиболее важной — эвклидовой геометрии, где, после выбора единицы измерения длин, — фута или метра, каждый вектор имеет определенную длину, квадрат которой задается положительно определенной квадратичной формой от Соответствующая симметричная билинейная форма есть

скалярное произведение Условие означает, что перпендикулярны. Ортогональная или декартова система координат есть такая система координат, в которой имеет нормальный вид

или, другими словами, — такая, что

Все декартовь! системы координат эквивалентны в эвклидовой геометрии; переход от одной декартовой системы координат к другой осуществляется с помощью ортогонального преобразования; соответственно тому, является ли это преобразование собственно или несобственно ортогональным, указанные системы имеют одинаковые или же противоположные "ориентации Линейное отображение оставляющее длины векторов неизменными, выражается в декартовой системе координат ортогональной матрицей в случае, когда матрица А — собственно ортогональная, мы имеем дело с "вращением".

В эвклидовой геометрии часто приходится строить декартову систему координат следующим индуктивным путем. Прежде всего выбирают (или имеют заданным) вектор 00. С помощью положительного нормирующего множителя

превращают его в вектор единичной длины и берут в качестве первого базисного вектора. Затем выбирают произвольный вектор перпендикулярный к

и берут "нормированный" 5 в качестве второго базисного вектора Следующий шаг требует решения системы двух однородных линейных уравнений

и т. д.; наконец, на последнем шаге нужно решить таких уравнений:

Согласно общей теории линейных уравнений, выписанные уравнения всегда имеют решения поскольку в течение всего

процесса число их остается меньшим числа неизвестных компонент вектора Это построение мы будем иногда называть классическим индуктивным построением декартовой системы осей.

В предшествующих наших замечаниях относительно эвклидовой или ортогональной векторной геометрии мы подразумевали под основным полем поле, обычно используемое при всех геометрических и физических измерениях: поле К всех вещественных чисел. Однако анализ последнего построения показывает, что оно требует лишь, чтобы поле удовлетворяло следующим двум условиям:

1) Сумма квадратов может быть равна нулю лишь, если каждое слагаемое в отдельности равно нулю.

2) Уравнение Пифагора

имеет решение у для любых двух заданных чисел

Второе условие позволяет выразить всякую сумму квадратов в виде квадрата; действительно, в конечной сумме квадратов

можно выполнить сложение последовательными шагами:

Поле, удовлетворяющее первому условию, называется вещественным полем; если, кроме того, выполнено ивторое условие, то мы будем называть поле пифагоровым. Роль этого условия в геометрии состоит в том, что оно позволяет откладывать заданный отрезок на заданной прямой