С. СОБСТВЕННО ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА

8. Теорема Клиффорда

От полной ортогональной группы мы обращаемся теперь к группе всех собственно ортогональных преобразований в -мерном пространстве. Переход к этой подгруппе индекса 2 выполняется значительно легче на группах, чем на обертывающих алгебрах, благодаря следующей красивой общей теореме, найденной А. Клиффордом в этом контексте

Теорема Пусть заданы группа а ее неприводимое представление над числовым полем Пусть, далее, -заданная инвариантная подгруппа группы у. Тогда ее представление

разбивается на "сопряженные" неприводимые представления одинаковых степеней. Если индекс конечен, то число неприводимых компонент не может превзойти его.

Смысл прилагательного "сопряженные" будет разъяснен в процессе доказательства. Пусть вектор -мерного пространства в котором действует представление ; через мы будем обозначать образ вектора Буква с индексами или без, всегда будет обозначать элемент из элемент из у. Мы выбираем -мерное подпространство А пространства неприводимо инвариантное относительно у и как таковое являющееся носителем некоторого неприводимого представления подгруппы у, имеющего степень Буква впредь будет использоваться лишь для векторов из А. При фиксированном элементе из пробегающем пробегает подпространство также инвариантное относительно у, как видно из равенства

Здесь и мы пользуемся тем обстоятельством, что у есть инвариантная подгруппа группы у. есть носитель сопряженного представления:

Для любого подпространства А, инвариантного относительно у, те векторы из для которых принадлежит образуют в А подпространство инвариантное в том же смысле:

Поскольку неприводимо, имеются лишь две возможности: или либо линейно независимо от А, либо содержится в А.

В случае конечного индекса у, пусть

будут смежные классы в у по у. Применяя к последовательности подпространств

инвариантных относительно у, рассуждение леммы мы выделим из них некоторое число,

линейно независимых, сумма которых

содержит все пространства (8.1). Так как эта сумма инвариантна тогда относительно всей группы у, она должна совпадать со всем пространством и тем самым представление разложено на сопряженных неприводимых представлений

При этом является делителем

Не предполагая конечности индекса, рассуждаем следующим образом. Если еще не все пространство, то существует элемент такой, что не содержится в в противном случае А было бы инвариантно относительно всех элементов группы у. Как мы доказали, тогда неоэходимо линейно независимо от А. Если и сумма не исчерпывает всего то существует такое, что не содержится в тогда линейно независимо от этой суммы. И так далее. Этот процесс должен остановиться после шагов.

Применим эту теорему, в частности, к подгруппе у индекса 2;

Тогда заданное неприводимое представление

либо остается неприводимым и при ограничении подгруппой у (первый тип), либо же разбивается на две неприводимые части сопряженные и одинаковых степеней (второй тип):

Во втором случае, когда разлагается в сумму подстановка и переводит подпространство в и обратно есть элемент из Это означает, что и представляется в матрицей вида

Систему координат в можно нормировать по системе координат в А так, чтобы стало единичной матрицей тогда

Элементу отвечают в соответственно матрицы Соотношения

соответственно тому, лежит ли в у или же в смежном классе определяют новое неприводимое представление группы у; мы назовем его ассоциированным с заданным представлением Разложение

может иметь место лишь, если ассоциированное представление эквивалентно Действительно, для ассоциированного представления мы имеем, в параллель к (8.2), (8.3),

что превращается в (8.2), (8.3) при перемене знаков координат во втором подпространстве. Суммируем:

Теорема При ограничении подгруппой индекса 2 заданное неприводимое представление либо остается

неприводимым, либо разбивается на две неприводимые сопряженные части одинаковых степеней; последнее возможно лишь, если заданное представление эквивалентно ассоциированному с ним.

Вопрос об эквивалентности, повидимому, допускает простой и общий ответ лишь в случае абсолютной неприводимости. В этом случае справедливо следующее утверждение.

Теорема Два абсолютно неприводимых представления первого типа приводят к неэквивалентным представлениям подгруппы у индекса 2, если не эквивалентно ни ни ассоциированному

Части абсолютно неприводимого второго типа неэквивалентны.

Если бы в первой части теоремы были эквивалентны, то мы могли бы считать, что матрицы в

совпадают для элементов из у. Матрицы отвечающие и соответственно в и , должны удовлетворять соотношениям

и

с

Согласно лемме Шура, применимой к абсолютно приводимым множествам матриц, как первое уравнение определяет с точностью до численного множителя; поэтому Второе уравнение дает тогда или Следовательно, должно совпадать либо с либо с ассоциированным . Для доказательства второй части теоремы примем, что, вопреки ее утверждению, совпадает с

Первое из равенств (8.4) дает тогда:

или

Это приводит к соотношению или, по умножении координат во втором подпространстве на число к равенству не нарушая нормальной формы (8.5). Если обозначить координаты, в рассматриваемых двух подпространствах через

то представляет

Поэтому все векторное пространство разбивается на два -мерных подпространства с координатами, соответственно, и -инвариантных относительно полной группы у:

в первом и

во втором подпространстве. Тем самым мы пришли в противоречие с предположенной неприводимостью представления

Присоединим к утверждениям, содержащимся в теореме следующие, более тривиальные.

Теорема В предположении абсолютной неприводимости, представление порождаемое представлением первого типа, не может быть эквивалентно ни одной из двух частей порождаемых представлением второго типа.

Если два неэквивалентных неприводимых представления второго типа, то не эквивалентно

Доказательство. То обстоятельство, что не эквивалентно влечет за собой невозможность расширения представления подгруппы упосредством подходящего соответствия до представления всей группы у. Представление же первого типа допускает расширение согласно его происхождению из

В случае представлений второго типа мы можем принять, что

Это сразу показывает, что в надлежащей системе координат матрица, соответствующая элементу и, однозначно определяется представлением