9. Четвертый пример: ортогональная группа

При исследовании группы всех собственно и несобственно ортогональных преобразований удобно включить в рассмотрение (кроме абсолютных или "четных" инвариантов) относительные инварианты особого рода (называемые "нечетными"), у которых мультипликатор равен для собственных для несобственных вращений. Определитель векторов есть нечетный инвариант. Специальное тождество Капелли показывает, что есть нечетный или четный инвариант соответственно четности или нечетности инварианта Теперь мы примем в качестве основного поля поле К всех вещественных чисел. В случае ортогональной группы не придется различать ковариантные и контравариантные векторы.

Нечетные инварианты, как и четные, являются абсолютными инвариантами для группы собственно ортогональных преобразований Обратно, абсолютный инвариант группы переводится при всех собственных вращениях в себя, а при всех несобственных вращениях — в одну и ту же новую форму и потому является суммой четного и нечетного инвариантов

относительно полной группы :

Теорема Скалярное произведение а компонентный определитель образуют полную таблицу типовых базисных инвариантов ортогональной группы.

Произведение двух компонентных определителей может быть выражено через скалярные произведения с помощью известного соотношения

В силу этого нашу теорему можно сформулировать следующим образом:

Т. Каждый четный ортогональный инвариант, зависящий от векторов в -мерном векторном пространстве, выражается через скалярных произведений Каждый нечетный инвариант является суммой членов

где берутся из ряда четный инвариант.

Доказательство следует схеме, принятой в § 6; однако, оно здесь несколько усложняется, так как отправной пункт для применения тождеств Капелли согласно § 5 должен быть подготовлен дополнительной индукцией по числу измерений пространства. Применением общего и специального тождеств Капелли теорема приводится к теореме относящейся к векторным аргументам в -мерном пространстве. Если суть численно заданных линейно независимых векторов, то можно ввести новую ортогональную систему координат так, чтобы они лежали в -мерном пространстве, натянутом на первые фундаментальных векторов ("неформальная" часть). Таким образом вопрос сводится к исследованию ортогональных инвариантов в измерениях или, более точно, так как эти инварианты зависят ровно от векторов, — к . В соответствии с этим, представляется

наилучшим сперва выполнить переход

а затем обобщить до Два шага, на которые разбивается согласно (9.2) переход выполняются, соответственно, путем "неформального" рассуждения и специального тождества Капелли, тогда как переход основывается на общем тождестве Капелли. Поскольку очевидно, как провести вторую часть, обратимся к индуктивному доказательству теоремы по схеме (9.2). Сперва сформулируем эту теорему:

Т. Четный инвариант, зависящий от векторов в -мерном пространстве, выражается через их скалярных произведений, каждый нечетный инвариант получается из некоторого четного путем умножения на компонентный определитель

Проведем сначала переход Пусть

— четный инвариант, зависящий от векторов в -мерном пространстве. Функция

является четным ортогональным инвариантом -мерных векторов и потому, согласно может быть выражена в виде полинома от скалярных произведений

где

При нечетном, несобственно ортогональная подстановка

дала бы откуда

При численно заданных можно найти перпендикулярный ко всем им вектор и затем применить классическое индуктивное построение декартовой системы координат таким образом, чтобы последняя ось совпала по направлению с . В этой новой системе координат последняя компонента каждого из векторов обратится в нуль:

Инвариантность функции относительно произведенного собственно ортогонального преобразования выразится уравнением

где, суть -мерные векторы с компонентами

Если нечетна, то сразу получаем

Если же четна, то, как упомянуто выше, применяем к четному ортогональному -мерному инварианту и получаем

Так как наше преобразование было ортогональным, то

и следовательно, как мы и утверждали,

Равенства (9.4) и (9.5), первое — для нечетных, а второе — для четных инвариантов, верны при любом выборе численных векторов следовательно, являются тождествами в формальном смысле. В результате, приняв имеем:

. Нечетных инвариантных форм от векторов, в -мерном пространстве не существует, каждый, же четный инвариант от векторов выражается через их скалярные произведения.

Следующий шаг производится путем применения специального тождества Капелли к инвариантам зависящим от и векторов. Правая часть этого тождества

содержит множитель имеющий меньший ранг, чем Если четно, то нечетно и по предположению индукции может быть выражено в виде произведения компонентного определителя на полином от скалярных произведений. Воспользовавшись тогда равенством

мы выразим четный инвариант (9.6) через одни лишь скалярные произведения. Заметим, что только этот частный случай равенства (9.1) и используется в нашем доказательстве.

Рекомендуем читателю сравнить законченное таким образом доказательство с первыми неуклюжими попытками достижения того же результата в § 2; данное там обещание теперь выполнено. Изложенный метод проходит в том же виде при любом пифагоровом основном поле

По теореме расширения мы можем определить полную таблицу типовых инвариантов, зависящих только от ковариантных векторов, для группы, характеризующей эвклидову геометрию ранга v в -мерном пространстве, т. е. для расширения собственно ортогональной группы Эта таблица состоит из: скалярных произведений, компонентного определителя основных векторов и компонентного определителя всех векторов. С помощью метода комплексных символов Вейтценбёка можно охватить и контравариантные аргументы