Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 9. Четвертый пример: ортогональная группаПри исследовании группы Нечетные инварианты, как и четные, являются абсолютными инвариантами для группы собственно ортогональных преобразований относительно полной группы
Теорема Произведение двух компонентных определителей может быть выражено через скалярные произведения с помощью известного соотношения
В силу этого нашу теорему можно сформулировать следующим образом: Т. Каждый четный ортогональный инвариант, зависящий от
где Доказательство следует схеме, принятой в § 6; однако, оно здесь несколько усложняется, так как отправной пункт для применения тождеств Капелли согласно § 5 должен быть подготовлен дополнительной индукцией по числу измерений пространства. Применением общего и специального тождеств Капелли теорема наилучшим сперва выполнить переход
а затем обобщить Т. Четный инвариант, зависящий от Проведем сначала переход
— четный инвариант, зависящий от
является четным ортогональным инвариантом
где
При
дала бы При численно заданных
Инвариантность функции
где,
Если
Если же
Так как наше преобразование было ортогональным, то
и следовательно, как мы и утверждали,
Равенства (9.4) и (9.5), первое — для нечетных, а второе — для четных инвариантов, верны при любом выборе численных векторов
Следующий шаг
содержит множитель
мы выразим четный инвариант (9.6) через одни лишь скалярные произведения. Заметим, что только этот частный случай равенства (9.1) и используется в нашем доказательстве. Рекомендуем читателю сравнить законченное таким образом доказательство с первыми неуклюжими попытками достижения того же результата в § 2; данное там обещание теперь выполнено. Изложенный метод проходит в том же виде при любом пифагоровом основном поле По теореме расширения
|
1 |
Оглавление
|