5. Дополнительные замечания

Прежде чем погрузиться в глубокие воды, скользнем по поверхности парой замечаний относительно общих инвариантов. Возьмем ситуацию, описанную в § 5 главы I: даны группа у и некоторое число переменных величин типы которых

определены (неприводимыми) представлениями группы у, и исследуются относительные инварианты У от таких аргументов. Как полином от компонент величин может быть приводимым; мы разлагаем его на простые множители:

Возникает вопрос, будут ли простые полиномы относительными инвариантами. При некоторых ограничениях на природу группы у это оказывается верным:

Теорема (V1II.5.A). В предположении, что группа у не имеет никакой подгруппы конечного индекса (за исключением самой себя), каждый простой множитель относительного инварианта является относительным инвариантом. Преобразования

индуцированные групповым элементом приводят к равенству

с мультипликатором или

Следовательно, должно быть произведением каких-то простых множителей, стоящих в правой части, и то же верно для В каждом случае число множителей (которое, самое меньшее, равно единице) должно быть точно равно единице, так как иначе произведение в левой части состояло бы более чем из простых множителей. Следовательно, мы будем иметь равенства вида

где некоторая перестановка индексов Те элементы для которых эта перестановка есть тождество, очевидно, образуют в у подгруппу индекса

Для полной линейной группы и классического случая инвариантов форм удобнее рассматривать преобразованный как полином от коэффициентов преобразования Мультипликатор равен Оперируя в только что описанной области, мы придем к равенству вида

Специализация сразу покажет тогда, что Здесь нам не пришлось вникать в строение рассматриваемой группы:

Теорема (VIII. 5. В). В случае полной линейной группы каждый простой множитель инварианта, зависящего от обобщенных величин есть снова инвариант.

В качестве применения возьмем дискриминант бинарной кубичной формы. Вследствие отсутствия инвариантов низших степеней он необходимо неприводим. Этот факт надлежит использовать при детальном проведении данного выше в наброске доказательства того, что каждый ковариант выражается через четыре базисных коварианта

Второе наше замечание нацелено совершенно в другом направлении. Предположим, что рассматриваемые инварианты зависят от нескольких величин одного и того же типа, описываемого представлением степени (а также, возможно, и от других аргументов).

Теорема (VIII. 5. С). (Теорема Паскаля.) Инварианты, - зависящие от величин одинакового типа степени могут быть выражены посредством поляризации и линейной комбинации через инварианты, зависящие не более чем от таких величин. Привлекая относительный инвариант мультипликатор которого равен можно даже свести число аргументов к

Это предложение является непосредственным следствием тождеств Капелли. Например, изучая одновременные инварианты нескольких бинарных кубичных форм, можно ограничиться четырьмя или даже тремя такими формами.