В. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА КРУПНЫМ ПЛАНОМ

10. Рациональная параметризация ортогональной группы по Кэли

На первый взгляд наше требование, чтобы основное поле было пифагоровым, представляется необходимым в случае эвклидовой геометрии, где основным метрическим построением является откладывание заданного отрезка на заданной прямой. Поэтому покажется несколько неожиданным, что основные результаты остаются в силе для любого числового поля (характеристики 0). Это существенно основывается на возможности рациональной параметризации ортогональной группы, впервые обнаруженной Кэли 1181. К сожалению, параметрическое представление Кэли не охватывает некоторых ортогональных матриц, и значительная доля нашего труда будет потрачена на то, чтобы свести на нет эффект этих исключений. Затронута наша алгебраическая амбиция; мы прерываем общий ход изложения и обращаемся к более подробному изучению ортогональной группы при произвольном основном поле

Будем называть матрицу А неисключительной, если

При этом условии введем матрицу 5 посредством равенства

с обращением

Матрица также неисключительная, Причем взаимно связаны друг с другом соотношениями

В силу перестановочности обоих множителей, последнее соотношение можно записывать также в форме

Это и есть подстановка Кэли.

Пусть теперь произвольная матрица. Равенство

выражает условие, при котором подстановка А оставляет инвариантной билинейную форму

Лемма Если неисключительные матрицы, связанные соотношениями (10.1) и (10.2), произвольная матрица, то в том и только в том случае, когда

Выполняя в (10.1) транспонирование, получаем

Умножая справа на и принимая во внимание (10.3), находим:

что по умножении справа на дает:

Обратно, приняв (10.4) и умножив транспонированное равенство (10.2)

справа на получим

что по умножении справа на дает (10.3).

Польза подстановки (10.2) заключается в том, что она превращает квадратичные соотношения (10.3) для А в линейные соотношения (10.4) для Мы используем эту лемму для случая, когда симметричная неособенная матрица, в частности а также, когда О — косо-симметричная неособенная матрица. Сформулируем наш результат в применении его к случаю

Теорема Каждая неисключительная ортогональная матрица А предетавима в форме (10.2), где неисключительная косо-симметричная матрица. Обратно, если неисключительная косо-симметричная матрица, то матрица А, определенная формулой -неисключительная ортогональная.

На протяжении этого и следующих параграфов будет обозначать косо-симметричную матрицу. Отметим равенство, имеющее место для этих матриц:

Это наталкивает на следующее любопытное замечание: матрица А, заданная формулой (10.2), имеет определитель +1, так как числитель и знаменатель в силу (10.5) имеют один и тот же определитель, неравный 0; следовательно, это представление, а потому и гипотеза на котором оно основано, должны быть невозможны для несобственно ортогональных преобразований.

Следствие 1. Для каждой несобственно ортогональной матрицы А имеем

Если наше пространство имеет нечетную размерность собственно ортогональная матрица, то —А будет несобственно ортогональной. Поэтому в таком пространстве для каждой собственно ортогональной матрицы А имеем

Из этого соотношения следует, что однородные линейные уравнения

имеют ненулевое решение

Следствие 2. Каждое собственное вращение в пространстве нечетной размерности обладает "осью", проходящей через начало, точки которой при этом вращении остаются на месте.

Простой факт, установленный в следствии 1, должен иметь более непосредственное основание, чем представленное нами. И оно достаточно просто. Взяв определитель от обеих частей равенства

находим для несобственного А:

Обратимся теперь к более подробному исследованию собственно ортогональных матриц, в частности исключительных собственно ортогональных матриц А, т. е. удовлетворяющих уравнению

Если матрица А — исключительная, то тем же свойством обладает и любая сопряженная матрица где произвольная ортогональная матрица; действительно,

и потому

Если неисключительная матрица А представлена в виде

то сопряженная матрица задается равенством

где

Для исключительной матрицы А однородные линейные уравнения

имеют ненулевое решение Обозначим линейное подпространство всех векторов х, удовлетворяющих этим уравнениям, через Мы собираемся применить к следующую лемму:

Лемма Пусть -мерное линейное подпространство пространства Тогда можно ввести ортогональную систему координат первые фундаментальных векторов которой будут лежать в (причем будет натянуто на них). Это верно в предположении, что основное поле вещественно и пифагорово. Если только вещественно, то построение может потребовать нескольких последовательных присоединений квадратных корней сумм квадратов.

Доказательство первой части состоит в классическом индуктивном построении декартовой системы координат, возможном в предположении, что поле вещественно и пифагорово. Если поле не пифагорово, то это построение требует присоединения квадратных корней из сумм квадратов. Остановимся немного на этом процессе.

Пусть заданное вещественное поле и — число, заданное в как сумма квадратов,

но само не являющееся квадратом в Тогда полином от неизвестной у неприводим над Поле получающееся путем присоединения к квадратного корня состоит из всех -полиномов от неизвестной у по модулю , т. е. обращение такого элемента в нуль означает делимость его на . Все элементы поля однозначно представимы в форме

Замечание, которое мы хотим здесь сделать, состоит в том, что если вещественно, то вещественно и Другими словами, сравнение

выполняется лишь, если все числа из равны нулю. (10.7) эквивалентно следующим двум уравнениям в

Первое уравнение можно записать в форме

Вследствие вещественности поля заключаем отсюда, что

т. е., что действительно все равны нулю.

Процесс присоединения квадратного корня из суммы квадратов мы назовем "пифагоровым присоединением". Наше замечание обосновывает возможность последовательных пифагоровых присоединений без разрушения нашей конструкции, поскольку в процессе всех этих расширений поле остается вещественным.

Обратимся теперь к обещанному выше применению нашей леммы к -мерному подпространству всех векторов х, удовлетворяющих системе (10.6). После введения новой декартовой системы координат, на первые осей которой

натянуто наша матрица А принимает вид

так как система (10.6) имеет теперь решения

Сумма квадратов элементов первой строки матрицы А равна 1,

В силу вещественности поля это влечет за собой, что все элементы равны нулю. То же верно для каждой из первых строк, так что верхний правый прямоугольник, обозначенный звездочкой, как и нижний левый, заполнен нулями. не должен равняться нулю, так как иначе система (10.6) имела бы решение

лежащее вне Поэтому В необходимо является собственно ортогональным преобразованием, и так как А было предположено собственно ортогональным, то определитель нашего -мерного должен быть равен таким образом должно быть четным: Мы пришли к следующему результату:

При применении к А надлежащего ортогонального преобразования

А распадается по формуле

где В — неисключительная собственно ортогональная матрица в -мерном пространстве. Отсюда легко вытекает

Лемма При вещественном основном поле каждая собственно ортогональная матрица А может быть записана в виде произведения двух перестановочных неисключительных собственно ортогональных матриц

Доказательство. Примем сначала, что наше поле вещественно и пифагорово. Применив наше преобразование положим

Тогда будут удовлетворять относительно А всем требуемым условиям, поскольку эти условия выполнены для трансформированных матриц относительно А.

Если вещественно, но не пифагорово, то описанное выше построение проходит после применения надлежащей цепи пифагоровых присоединений, расширяющей до некоторого также вещественного поля К. В силу неравенства

мы можем, согласно теореме написать:

Косо-симметричная матрица будет перестановочна с и

Отметим, между прочим, что где

и — нулевая матрица порядка. Так как

то неравенство равносильно неравенству

Перестановочность с А,

налагает на неизвестных некоторое количество линейных условий. Так как коэффициенты этих уравнений лежат в А, то можно найти фундаментальные решения

в так, чтобы каждое решение (в К или любом поле над было линейной их комбинацией:

Оба определителя (10.8) и (10.9) после подстановки вместо выражения (10.10) становятся полиномами от Они не могут тождественно обращаться в нуль в формальном смысле, поскольку нам известны значения параметров в К, при которых оба эти определителя не равны 0. Поэтому мы можем найти такие значения в или даже рациональные значения, которые ни один из этих определителей не обращают в нуль.

Хотя это завершает доказательство нашей леммы, не бесполезно, пожалуй, немного подробнее рассмотреть обычно встречающийся случай. Перемножив две перестановочные неисключительные собственно ортогональные матрицы

мы получим в результате

а это выражение снова имеет тот же вид (10.2), с косо-симметричной матрицей

Мы встретились здесь с тем, что в области скаляров известно под названием закона сложения тангенсов. Полученное правило, конечно, теряет силу, если

и этим обстоятельством объясняется больший объем области бинарных произведений (10.11), охватывающей наряду с неисключительными также исключительные преобразования.