3. Неприводимые представления симметрической группы

Коэффициенты ссимметризатора с очевидно удовлетворяют следующим соотношениям:

Лемма Каждая величина удовлетворяющая тем же условиям

есть численное кратное симметризатора с.

Доказательство. Из (3.2), в частности, следует так что соотношения (3.3) выполняются для подстановок вида

Если не представимо в этом виде, то пользуемся парой транспозиций доставляемых леммой и в качестве следствия соотношений (3.2) получаем:

что в соединении с приводит к равенству или

Лемма Если выше то каждая величина удовлетворяющая соотношениям

необходимо равна нулю.

-Доказательство проводится с помощью того же рассуждения, что и во второй части предыдущего доказательства, опираясь на лемму

Теорема является кратным в частности

Доказательство. Величина ,

обладает свойствами (3.2).

Теорема Если выше то. каждая величина вида равна нулю; в частности Доказательство аналогично.

В главе VII будет в одном месте использовано несколько более сильное соотношение

содержащее а, (2.3), вместо с.

Коэффициент из теоремы есть целое число,

Нажно знать, что оно отлично от нуля. Мы докажем его положительность. Согласно (3.5), число указывает, насколько чаще уравнение

имеет решения, содержащие подстановки одинаковой четности, чем противоположных четностей.

Теорема (IV.3.E).

где - размерность подпространства

Доказательство. состоит из всех величин вида Подстановка переводит каждую величину х в некоторую величину х из внутри же является умножением на

Приурочив систему координат к подпространству мы сразу видим, что след указанной подстановки равен Используя же естественный базис, т. е. подстановки мы находим, что следом преобразования

служит

Наша теорема показывает, между прочим, что степень представления является делителем порядка нашей группы. Соответствующее утверждение в общей теории, а именно, что степени абсолютно неприводимых представлений конечной группы являются делителями ее порядка, также оказывается справедливым, но лежит относительно глубоко; поэтому мы воздержались от доказательства его в § 1. Введем теперь идемпотент

и докажем следующее предложение: Теорема есть примитивный идемпотент. Действительно, пусть допускает разложение

где

Тогда и потому, в силу теоремы Так как идемпотент, то численный множитель X удовлетворяет соотношению Поэтому X есть

либо 1, либо 0, и единственные возможные разложения идемпотента

Теорема Если то неприводимые инвариантные подпространства неэквивалентны.

Доказательство. Пусть выше По теореме каждая величина из удовлетворяет тогда уравнению тогда как в имеется, по крайней мере, одна величина: для которой Это делает невозможным существование взаимно однозначного отображения подобия на

Руководствуясь соотношением (1.14), введем величину формулой

очевидно, есть функция классов и потому лежит в центре группового кольца.

Лемма или смотря по тому, принадлежат ли различным диаграммам или же одной и той же диаграмме

Доказательство. Мы можем написать

Это показывает, что равенство является непосредственным следствием теоремы если выше Но так как лежит в центре группового кольца, то поэтому, при том же предположении, и наконец, независимо от того, выше ли чем или ниже.

Произведение с точностью до множителя равно

По теореме где

или

Поэтому выражение (3.10) равно

или

Так как принадлежит центру, то отсюда следует, что

Тогда, суммируя по получаем:

Наша лемма влечет соотношения ортогональности для характеров

Она показывает, что функции классов соответствующие различным диаграммам линейно независимы. Так как число различных диаграмм равно числу классов в то каждая функция классов должна быть линейной комбинацией указанных базисных функций. В частности, должно выполняться равенство вида

с численными коэффициентами Умножение на дает, в силу леммы,

Поэтому имеем разложение единичного элемента 1:

являющееся максимумом того, что вообще можно получить в области функций классов.

Теорема (1V.3.J). Единичный элемент 1 группового кольца Ымметрической группы расщепляется на элементы центра соответствующие диаграммам Юнга. (3.12) можно записать в виде

и это показывает, что сумма инвариантных подпространств, порождаемых всеми исчерпывает все рассматриваемое -мерное пространство. Так как эти подпространства неприводимы, то мы можем, в силу лемиа выбрать из них

линейно независимые, образующие в сумме все пространство. Это и есть разложение регулярного представления на неприводимые составляющие. Мы знаем априори, и можем заново вывести из соотношения (3.12), записав его в виде

сколько раз входит каждая неприводимая компонента: столько раз какова ее степень. [В (3.13) левая часть есть характер регулярного представления.] Однако мы не будем стараться выполнить это разложение тем же прямым конструктивным способом, как и разложение (3.12) на двусторонне инвариантные подпространства. Разложения (3.13) достаточно для всех важных целей; при этом, не содержа никакого произвола, оно имеет преимущество единственности.