3. Обертывающая алгебра и представления симплектической группы

Рассмотрим теперь преобразование индуцируемое в тензорном пространстве преобразованием

где — общая инфинитезимальная симплектическая матрица (2.4), (2.5) с неопределенными элементами. Мы хотим показать, что вполне приводимо относительно Будем сперва оперировать в основном поле х. Пусть — инвариантное подпространство пространства натянутое линейно независимые рациональные тензоры Подпространство ортогональное к в смысле метрики ( будет натянуто на некоторые рациональные тензоры Перейдем теперь к гауссовскому полю так что будут состоять из всех линейных комбинаций тензоров соответственно с коэффициентами из Тогда

каждый тензор F из будет также унитарно ортогонален к каждому тензору из :

Элементы матрицы, описывающей подстановку по отношению к системе координат являются рациональными функциями от со знаменателем Из частей, на которые расщепляется эта матрица в соответствии с разложенйем верхний правый прямоугольник будет пустым (инвариантность подпространства 2). Мы утверждаем, что то же верно и для нижнего левого прямоугольника; другими словами, также инвариантно. Чтобы убедиться в этом, подставим в качестве 5 произвольную численную неисключительную инфинитезимальную унитарную симплектическую матрицу над Соответствующее унитарно, и тоже верно для поэтому элементы указанного прямоугольника, в силу леммы (VI. 2. А), при такой подстановке обращаются в нуль. Опираясь на заключительное замечание последнего параграфа, выводим отсюда, что эти элементы тождественно равны нулю.

Теперь открыт путь для установления всех теорем, аналогичных доказанным в случае ортогональной группы При этом 1 алгебра в описывается наложением на ряд бисимметричных матриц

следующих уравнений:

Теорема (VI.3. А). есть обертывающая алгебра труппы всех индуцируемых симплектическими преобразованиями А. Это верно при любом поле характеристики нуль; можно даже ограничиться внутри рациональными неисключительными А.

Или, в другой форме:

Теорема (VI.3.В). Пусть общая матрица, состоящая из независимых переменных общая

инфинитезимальная симплектическая матрица. Каждый полином формальной степени от переменных формально обращающийся в нуль при подстановке

является линейной комбинацией

форм частного вида

с полиномиальными коэффициентами формальной степени

Эта теорема определяет базис для симплектического простого идеала. Если не придавать важности ограничению, налагаемому на формальные степени, то одна из двух базисных систем излишня.

След тензора по первым двум аргументам определяется теперь формулой

Тензоры ранга с нулевыми следам образуют пространство Налагая на них условие симметрии, соответствующее заданной диаграмме получаем подпространство неприводимо инвариантное относительно алгебры или группы Однако будет пустым, за исключением тех случаев, когда состоит из не более чем строк (допустимые диаграммы). (Это упрощение по сравнению с ортогональным случаем вызывается тем, что уже сам определитель векторов, а не только произведение двух таких определителей, как в выражается через косые произведения.) Будем, снова характеризовать диаграмму длинами ее строк:

есть поле действия неприводимого представления группы Любое инвариантное подпространство пространства вполне приводимо, и в случае неприводимости - подобно одному из подпространств пространства с

Представление контрагредиентно самому себе» поскольку подстановка дает возможность непосредственного перехода от ковариантных величин к контравариантным.

Мы предоставляем читателю сформулировать и доказать во всех деталях цепь предложений, подобную установленным для ортогональной группы. Использование для симплектической и ортогональной групп одинаковой системы обозначений не приведет к путанице, так как в каждом случае будет ясно, о какой из двух групп идет речь.