ГЛАВА V. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА

А. ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ИДЕАЛ

1. Снова о векторных инвариантах унимодулярной группы

Для каждой из классических групп в -мерном пространстве как и мы найдем соответствующую ей алгебру бисимметричных преобразований в тензорном пространстве Эти алгебры содержатся в алгебре всех бисимметричных преобразований, и в этой роли всеобщего вместилища последняя алгебра будет впредь обозначаться через Желая одновременно исследовать все тензорные пространства рангов мы будем нанизывать бисимметричные преобразования из в одну матрицу

Совокупность всех матриц с произвольными бисимметричными компонентами образует алгебру .

Для каждой заданной группы линейных преобразований в -мерном векторном пространстве соответствующие кронекеровские произведения

действующие в образуют Группу гомоморфную с есть нить (1.1) матриц группа, пробегаемая матрицами когда пробегают Мы собираемся определить обертывающую алгебру [1] группы используя наш общий критерий — теорему Для этого

нам надо рассмотреть коммутаторную алгебру группы Матрица

перестановочна со всеми если

Соотношение (1.3) означает, что форма

зависящая от ковариантных векторов

и контравариантных векторов

есть инвариант относительно группы Поэтому определение коммутаторной алгебры эквивалентно проблеме векторных инвариантов, разрешаемой первой основной теоремой теории инвариантов. Обращаясь к мы должны задаться вопросом, при каких условиях матрица

перестановочна со всеми Таким же образом находим, что

должна быть матрицей коэффициентов инварианта

зависящего от контравариантных векторов ковариантных векторов у.

В случае полной линейной группы мы смогли найти обертывающие алгебры простейшим путем; ими оказались, соответственно, и Поэтому здесь мы можем использовать наш принцип для того, чтобы заново доказать первую основную теорему относительно векторных инвариантов группы это и будет выполнено в настоящем параграфе. В более же сложных случаях, и в частности для ортогональной группы, тот же

принцип позволит нам с помощью теоремы зная целый рациональный базис для векторных инвариантов, получить обертывающую алгебру.

В линейной совокупности Р всех тензоров в -мерном пространстве операторы симметрии образуют вполне приводимую матричную алгебру подстановке

соответствует матрица

Коммутаторной алгеброй алгебры служит алгебра всех бисимметричных матриц (см. стр. 139). Поэтому, согласно теореме является коммутаторной алгеброй для Следовательно, матрица коэффициентов любого инварианта (1.4) должна быть линейной комбинацией матриц вида (1.8), которым соответствуют инварианты

Иными словами: каждый инвариант, линейно зависящий от ковариантных векторов контравариантных векторов 6, выражается через произведения типа . В выражении (1.9) подстановка (1.7) предстает как соединение в супружеские пары "мужских" символов у с "женскими" символами

Отсюда довольно легко удается вновь получить нашу старую таблицу

как полную совокупность типовых базисных инвариантов для унимодулярной группы. Пусть требуется рассмотреть инварианты У, зависящие от некоторого чйсла латинских и греческих аргументов. Путем полной поляризации можно добиться, чтобы были линейны по каждому аргументу. Покажем тогда, что разность между числом латинских и греческих аргументов должна быть кратной и что при линейном преобразовании с определителем а переходит в . В самом деле, рассмотрим действие, оказываемое на следующими двумя подстановками:

Первая переводит вторая — в сумму показатели являются целыми, хотя и не обязательно положительными. Заменяя во втором преобразовании а на и замечая, что разнятся унимодулярным преобразованием

получаем следующее тождество относительно а:

Оно показывает, что в правой части фактически присутствует лишь один член с причем Поэтому подстановка и, следовательно, каждая подстановка с определителем а, превращает

В случае когда имеется одинаковое число латинских и греческих аргументов, есть абсолютный инвариант и потому выражается через произведения Если, однако, число латинских аргументов превышает число греческих на то вводим вспомогательных греческих аргументов и выражаем абсолютный инвариант

через произведения Выражение (1.10) косо-симметрично относительно поэтому, произведя все перестановок аргументов и образуя знакопеременную сумму, мы получим для

выражение, в каждом члене которого множитель вида

заменится определителем

Так как этот определитель равен

то вспомогательный множитель можно сократить. Этот процесс следует повторно применить, если число латинских аргументов превосходит число греческих на или и т. д., и ясно, что надо сделать, если, наоборот, последнее число больше чем первое.