Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 9. Характеры ортогональной группыМы не без умысла предоставили на этот раз симплектической группе первенство перед ортогональной. Для последней положение значительно усложняется различием между собственно и несобственно ортогональными подстановками
а не
Так как формы (9.1) и (9.2) переходят одна в другую с по мощью подстановки
которая сама унитарна, посредством трансформации указанной подстановкой. При основной форме (9.1) скалярное произведение двух векторов х, у равно
и тем самым все наше рассмотрение становится по форме более похожим на рассмотрение симплектической группы с инвариантным косым произведением
Несобственно ортогональное преобразование
Рассмотрим сперва нечетный случай
где
по диагонали. Пусть несобственный элемент
а тогда для несобственного элемента (9.4) имеем:
Поэтому Фурье с целыми коэффициентами:
Коэффициенты
Для относительной плотности классов находим на собственной и несобственной частях, соответственно, выражения
Эти функции двузначны так, что когда один из углов описывает полный оборот, а остальные остаются фиксированными,
а не из последовательности целых чисел
Поэтому указанные конечные ряды являются линейными комбинациями с целыми коэффициентами элементарных сумм
где в но при этом с учетом четности или нечетности числа обращений знаков; показатели же I — полуцелые числа, удовлетворяющие условию
Располагая члены в лексикографическом порядке, мы должны иметь
где
Обозначая через
Если характер у примитивен, то его среднее квадратичное
что вследствие (9.9) оставляет лишь две возможности: либо
либо
Старшим членом в (9.10) как для
тогда как в (9.11) старшими членами являются
Этого достаточно для сопоставления с алгебраической конструкцией из § 7 главы V, которую мы должны приспособить к новому виду (9.1) основной квадратичной формы. Это легкое изменение — лишь к лучшему: для схемы
единственной линейно независимой компонентой общих тензоров в
и этот вес есть (9.12) как для собственных, так и для несобственных преобразований. Для ассоциированной диаграммы
она будет веса
для
Мы достигли теперь пункта, где моэкем отбросить унитарное ограничение, причем результат будет верен при любом числовом поле (характеристики нуль). Поэтому нет никакой причины не вернуться к основной метрической форме (9.2); тогда нашими рассмотрениями доказано, что алгебраически построенные
образуют полную систему неэквивалентных непрерывных неприводимых представлений вещественной ортогональной группы. Рассмотрение нечетного случая можно было бы упростить, используя для перехода от собственных к несобственным элементам не (9.3), Вместо нормальной формы (9.4) элементов группы
для собственных и
- для несобственных элементов. В последнем случае имеем поэтому лишь
(9.7) следует заменить на
Элементарными суммами
для
для
где
для
приходим к следующим возможностям:
при
и
для
Действительно, в четном случае мы имеем самоассоциированные диаграммы точно с
Наконец, с помощью леммы Коши мы приходим к тому же результату (9.13), (9.14), что и для
И действительно, мы скоро докажем, что определитель (9.13) обращается тогда в нуль для несобственно ортогональных А. Теорема
задаются определителями
где числа I определяются формулами (8.7). Для самоассоциированной диаграммы, Формулы для степеней можно получить столь же легко, как и в случаях Теорема
(с той оговоркой, что для самоассоциированной диаграммы, Легко проверить, что для любой ортогональной матрицы
удовлетворяет функциональному уравнению
где
и, следовательно,
откуда вытекает рекуррентное соотношение
Это доказывает, что определитель (9.18) действительно равен нулю, когда
степени
и потому имеет вид
Это легко приводит к формулам, аналогичным установленным для симплектической группы Теорема
для
за исключением самоассоциированной диаграммы
(2) Заменить знаменатель
Последнее изменение находится в согласии с необходимостью при образовании (симметричной) таблицы скалярных произведений
|
1 |
Оглавление
|