9. Характеры ортогональной группы

Мы не без умысла предоставили на этот раз симплектической группе первенство перед ортогональной. Для последней положение значительно усложняется различием между собственно и несобственно ортогональными подстановками Для аналитического исследования оказывается удобным разделить случаи нечетной и четной размерностей, и в качестве основной квадратичной формы, лево-инвариантной относительно ортогональных преобразований, принять

а не

Так как формы (9.1) и (9.2) переходят одна в другую с по мощью подстановки

которая сама унитарна, группа унитарных преобразований, оставляющих инвариантной форму (9.1), эквивалентна группе унитарных, т. е. вещественных преобразований с инва риантной формой (9.2), переходя в последнюю группу

посредством трансформации указанной подстановкой. При основной форме (9.1) скалярное произведение двух векторов х, у равно

и тем самым все наше рассмотрение становится по форме более похожим на рассмотрение симплектической группы с инвариантным косым произведением

Несобственно ортогональное преобразование использованное нами в главе V для разбиения на и ее смежный класс будет теперь определяться так:

Рассмотрим сперва нечетный случай способ, который применим, потребует лишь небольшой модификации при переходе после этого к четному случаю. В каждый собственный или несобственный элемент сопряжен, соответственно, некоторому диагональному элементу

где Введем углов формулами Каждая функция классов и, в частности, каждый характер у будет тогда периодической функцией на собственной и другой периодической функцией на несобственной части, в обоих случаях инвариантной относительно октаэдральной группы порядка Диагональные элементы вида (9.4) образуют коммутативную группу, и, следовательно, мы можем привести изображающие их в заданном представлении матрицы одновременно к диагональному виду. Как мы знаем, для собственных элементов матрица будет состоять из членов

по диагонали. Пусть несобственный элемент представ» лен диагональной матрицей вследствие равенства получаем; 2

а тогда для несобственного элемента (9.4) имеем:

Поэтому являются конечными рядами

Фурье с целыми коэффициентами:

Коэффициенты неотрицательны, а коэффициенты удовлетворяют условиям

Для относительной плотности классов находим на собственной и несобственной частях, соответственно, выражения и где

Эти функции двузначны так, что когда один из углов описывает полный оборот, а остальные остаются фиксированными, непрерывно переходит в являются конечными рядами Фурье с целыми коэффициентами, в том модифицированном смысле, что показатели общего члена берутся из последовательности "полуцелых" чисел

а не из последовательности целых чисел

Поэтому указанные конечные ряды являются линейными комбинациями с целыми коэффициентами элементарных сумм

где в сумма распространена знакопеременно на тогда как в сумма распространена знакопеременно по подстановкам,

но при этом с учетом четности или нечетности числа обращений знаков; показатели же I — полуцелые числа, удовлетворяющие условию

суть, соответственнр, и наинизшего ранга с

Располагая члены в лексикографическом порядке, мы должны иметь

где

Обозначая через соответственно, средние значения по всей группе, по ее собственной части и по ее несобственной части, имеем;

Если характер у примитивен, то его среднее квадратичное равно 1, откуда

что вследствие (9.9) оставляет лишь две возможности: либо

либо

Старшим членом в (9.10) как для так и для служит

тогда как в (9.11) старшими членами являются

Этого достаточно для сопоставления с алгебраической конструкцией из § 7 главы V, которую мы должны приспособить к новому виду (9.1) основной квадратичной формы. Это легкое изменение — лишь к лучшему: для схемы строками длин

единственной линейно независимой компонентой общих тензоров в с наивысшим весом является теперь

и этот вес есть (9.12) как для собственных, так и для несобственных преобразований. Для ассоциированной диаграммы соответствующая компонента получается из только что выписанной путем присоединения к первому столбцу ряда

она будет веса соответственно тому, возьмем ли мы в (9.4) знак или Поэтому (9.10) соответствует подпространству подпространству Путем применения леммы Коши в той же форме, что и для симплектической группы, и приобретут единообразное выражение, и, заменяя символ на мы получим, с нашими старыми условиями (8.7):

для

Мы достигли теперь пункта, где моэкем отбросить унитарное ограничение, причем результат будет верен при любом числовом поле (характеристики нуль). Поэтому нет никакой причины не

вернуться к основной метрической форме (9.2); тогда нашими рассмотрениями доказано, что алгебраически построенные

образуют полную систему неэквивалентных непрерывных неприводимых представлений вещественной ортогональной группы.

Рассмотрение нечетного случая можно было бы упростить, используя для перехода от собственных к несобственным элементам не (9.3), являющееся в нечетном случае несобственным элементом. Тогда единое выражение (9.13) на собственной и несобственной частях будет совершенно очевидно. Однако мы предпочли изложенный нами способ потому, что он служит моделью для четного случая Укажем кратко требуемые в этом случае изменения.

Вместо нормальной формы (9.4) элементов группы мы получим теперь

для собственных и

- для несобственных элементов. В последнем случае имеем поэтому лишь углов По поводу определения подстановки см. (9.3). Вместо (9.6) получаем те же соотношения для коэффициентов функций

(9.7) следует заменить на

Элементарными суммами являются

для но только половина их:

для Это влечет за собой, что

где смотря по тому, будет ли или в частности,

для Элементарные суммы такие же, как для симплектической группы:

Пользуясь обозначениями

приходим к следующим возможностям:

при

и

для Они отвечают, соответственно, тензорным пространствам

Действительно, в четном случае мы имеем самоассоциированные диаграммы точно с строками, для которых совпадают. Нет ничего удивительного в том, что соответствующий характер равен нулю для несобственных элементов так как представление эквивалентно ассоциированному с ним, то

Наконец, с помощью леммы Коши мы приходим к тому же результату (9.13), (9.14), что и для как на собственной, так и на несобственной части, и притом независимо от того, будет ли или 0. Единственное различие состоит в том, что в последнем случае, в согласии

И действительно, мы скоро докажем, что определитель (9.13) обращается тогда в нуль для несобственно ортогональных А. Теорема Характеры представлений

задаются определителями

где числа I определяются формулами (8.7). Для самоассоциированной диаграммы, совпадают.

Формулы для степеней можно получить столь же легко, как и в случаях

Теорема Таблица

(с той оговоркой, что для самоассоциированной диаграммы, берется только один раз) содержит полную систему неэквивалентных непрерывных неприводимых представлений вещественной ортогональной группы.

Легко проверить, что для любой ортогональной матрицы характеристический полином

удовлетворяет функциональному уравнению

где есть знак выражения . В частности, при четном, и А несобственном, получаем:

и, следовательно, имеет вид

откуда вытекает рекуррентное соотношение

Это доказывает, что определитель (9.18) действительно равен нулю, когда и все Более обще, полином

степени удовлетворяет уравнению

и потому имеет вид

Это легко приводит к формулам, аналогичным установленным для симплектической группы

Теорема Для приспособления теорем к ортогональной группе следует произвести в них следующие изменения: (1) Положить

для -функции для типов задаются формулами

за исключением самоассоциированной диаграммы где

(2) Заменить знаменатель

Последнее изменение находится в согласии с необходимостью при образовании (симметричной) таблицы скалярных произведений заданных векторов охватить и случай