5. Абстрактная алгебра, связанная с ортогональной группой
Представляется небезынтересным явно определить ту абстрактную алгебру, которая для ортогональной группы играет такую же роль, как группа подстановок
для полной линейной группы. В последнем случае подстановки появляются под такой личиной. Мы имеем
"мужских" символов
"женских" символов
и каждая "единица" (базисный элемент)
группового кольца есть сочетание их в разнополые пары
как в (1.9). Композиция
двух таких единиц
записанных соответственно в буквах
выполняется путем свертывания произведений вида
При интерпретации
как оператора в области тензоров ранга
"мужские" у следует интерпретировать как ковариантные, а "женские"
-как контравариантные векторы, сочетание же (5) означает образование их произведения. Однако это представление является точным лишь, если размерность
нашего пространства в противном случае появятся линейные зависимости, связывающие единицы, как, например,
отсутствующие в абстрактной области.
Аналогия очевидна. Ограничимся, в случае ортогональной группы, рассмотрением одной матрицы
вместо всего ряда
и в соответствии с этим выделим из определенных ранее перестановочных с
матриц В, (1.5), часть В
Матрицы
образуют алгебру
каждую единицу которой можно снова описать как сочетание
символов
символов у в пары, однако уже без различения "полов". Композиция двух единиц, выраженных, соответственно, в символах
выполняется по правилу, подобному предшествующему: произведение вида
заменяется на
произведение (уесли оно появляется в результате свертывания, заменяется числом
Здесь и есть х или
есть
или у. Результат свертываний не зависит от порядка, в котором они производятся; действительно, единственными возможностями являются "цепи" типа
и "кольца" типа
которые свертываются, соответственно, в
(Между прочим, цепь нечетной длины
связывает
или
тогда как цепь четной длины соединяет
кольца необходимо имеют четную длину
То, что мы получили, есть почти, но, все же, не совсем группа: произведение двух единиц может быть не просто единицей, а единицей, умноженной на некоторую степень
; и некоторые единицы — во всяком случае все, содержащие "однополые" пары, вовсе не допускают обращения. Легкий подсчет показывает, что порядком
служит
Число
уже с самого начала играет роль в определении нашей алгебры чего не было в случае группы подстановок
Там
не появлялось до тех пор, пока мы не перешли от абстрактной алгебры к ее представлению операторами в тензорном пространстве
ранга
соответствующем
-мерному векторному пространству
Аналогичное представление нашей теперешней алгебры интерпретирует символы х и у как векторы в ортогональном
-мерном пространстве, а сочетания
или
как скалярные произведения. До сих пор со и имелось только в этой конкретной форме. Указанное
представление — во всяком случае точное при
действительно, скалярные произведения
векторов
пространства
или большего числа измерений алгебраически
независимы. Оно не является точным при
так как тогда имеет место соотношение (5.1) с заменой
на
. Я не стану тратить время на заполнение пробела, оставшегося между этими двумя пределами
Более важен вопрос о полной приводимости. есть коммутаторная алгебра алгебры со в ее конкретной форме или представлении
Предположим, что в нашем распоряжении имелась бы теория алгебры
того же Типа, что и теория симметрической группы
изложенная в главе IV, и, в частности, говорящая нам, что вполне приводима над основным полем х и что неприводимые ее составляющие остаются неприводимыми и при любом поле
над х. С помощью общих теорем раздела А главы III мы могли бы вывести отсюда разложение алгебры
на ее (абсолютно) неприводимые составляющие. Мы могли бы даже надеяться получить более элементарное и полное соответствие, подобное установленному в разделе В главы III. И мы действительно предпримем построение последнего типа, но с помощью простого приема нам удастся установить контакт с хорошо известной симметрической группой
вместо этой несколько загадочной алгебры
это время мы просим читателя забыть, что
есть обертывающая алгебра для
исследоваться ради нее самой, и лишь после того, как это будет выполнено, мы возвратимся с помощью указанного забытого факта к группе
Заменяя
всем рядом
мы приходим к рассмотрению алгебры матриц
где
есть линейная комбинация единиц, определенных сочетанием в пары и символов
символов у, и где соответственным образом определено умножение такой единицы
на единицу