5. Абстрактная алгебра, связанная с ортогональной группой

Представляется небезынтересным явно определить ту абстрактную алгебру, которая для ортогональной группы играет такую же роль, как группа подстановок для полной линейной группы. В последнем случае подстановки появляются под такой личиной. Мы имеем "мужских" символов "женских" символов и каждая "единица" (базисный элемент) группового кольца есть сочетание их в разнополые пары как в (1.9). Композиция двух таких единиц записанных соответственно в буквах выполняется путем свертывания произведений вида При интерпретации как оператора в области тензоров ранга "мужские" у следует интерпретировать как ковариантные, а "женские" -как контравариантные векторы, сочетание же (5) означает образование их произведения. Однако это представление является точным лишь, если размерность нашего пространства в противном случае появятся линейные зависимости, связывающие единицы, как, например,

отсутствующие в абстрактной области.

Аналогия очевидна. Ограничимся, в случае ортогональной группы, рассмотрением одной матрицы вместо всего ряда и в соответствии с этим выделим из определенных ранее перестановочных с матриц В, (1.5), часть В

Матрицы образуют алгебру каждую единицу которой можно снова описать как сочетание символов символов у в пары, однако уже без различения "полов". Композиция двух единиц, выраженных, соответственно, в символах выполняется по правилу, подобному предшествующему: произведение вида

заменяется на произведение (уесли оно появляется в результате свертывания, заменяется числом Здесь и есть х или есть или у. Результат свертываний не зависит от порядка, в котором они производятся; действительно, единственными возможностями являются "цепи" типа

и "кольца" типа

которые свертываются, соответственно, в

(Между прочим, цепь нечетной длины связывает или тогда как цепь четной длины соединяет кольца необходимо имеют четную длину То, что мы получили, есть почти, но, все же, не совсем группа: произведение двух единиц может быть не просто единицей, а единицей, умноженной на некоторую степень ; и некоторые единицы — во всяком случае все, содержащие "однополые" пары, вовсе не допускают обращения. Легкий подсчет показывает, что порядком служит Число уже с самого начала играет роль в определении нашей алгебры чего не было в случае группы подстановок Там не появлялось до тех пор, пока мы не перешли от абстрактной алгебры к ее представлению операторами в тензорном пространстве ранга соответствующем -мерному векторному пространству Аналогичное представление нашей теперешней алгебры интерпретирует символы х и у как векторы в ортогональном -мерном пространстве, а сочетания или как скалярные произведения. До сих пор со и имелось только в этой конкретной форме. Указанное представление — во всяком случае точное при действительно, скалярные произведения векторов пространства или большего числа измерений алгебраически

независимы. Оно не является точным при так как тогда имеет место соотношение (5.1) с заменой на . Я не стану тратить время на заполнение пробела, оставшегося между этими двумя пределами

Более важен вопрос о полной приводимости. есть коммутаторная алгебра алгебры со в ее конкретной форме или представлении Предположим, что в нашем распоряжении имелась бы теория алгебры того же Типа, что и теория симметрической группы изложенная в главе IV, и, в частности, говорящая нам, что вполне приводима над основным полем х и что неприводимые ее составляющие остаются неприводимыми и при любом поле над х. С помощью общих теорем раздела А главы III мы могли бы вывести отсюда разложение алгебры на ее (абсолютно) неприводимые составляющие. Мы могли бы даже надеяться получить более элементарное и полное соответствие, подобное установленному в разделе В главы III. И мы действительно предпримем построение последнего типа, но с помощью простого приема нам удастся установить контакт с хорошо известной симметрической группой вместо этой несколько загадочной алгебры это время мы просим читателя забыть, что есть обертывающая алгебра для исследоваться ради нее самой, и лишь после того, как это будет выполнено, мы возвратимся с помощью указанного забытого факта к группе

Заменяя всем рядом мы приходим к рассмотрению алгебры матриц

где есть линейная комбинация единиц, определенных сочетанием в пары и символов символов у, и где соответственным образом определено умножение такой единицы на единицу