10. Разложение и кронекеровское умножение

Проиллюстрируем то, что мы имеем в виду сказать, на симплектической группе, которая не столь уж совсем проста, как но и не столь сложна, как Любое инвариантное подпространство пространства служит полем действия представления группы характер которого, выраженный через диагональные элементы группы

есть полином

с неотрицательными целыми коэффициентами и целыми, но не обязательно положительными показателями Соответствующий вывод для полной линейной группы был явно проведен в § 5 главы IV. Представление разбивается на неприводимые представления типа

Мы хотим определить, с какою кратностью каждая из этих неприводимых составляющих входит в , в предположении, что нам известны коэффициенты характеризующие заданное представление

Второй важной задачей является разложение кронекеровского произведения двух неприводимых представлений и на его неприводимые составляющие Мы решим обе задачи одновременно, дав формулу для кратности, с которой входит в произведение

где представление определено коэффициентами характера.

Мы предпочтем рассуждать в терминах унитарно ограниченной группы Вместо характера

мы можем пользоваться и -функцией представления :

получающейся путем умножения X на Относительно октаэдральной группы действующей на углы характер симметричен, а функция антисимметрична, -функцией представления является

с

Определение (10.4) функции мы сохраним и для произвольных целых независимо от того, удовлетворяют ли они неравенствам

или нет

Кратности

надлежит вывести из характера

или, по умножении на из

Мы намерены показать, что левая часть, т. е. -функция представления равна

т. е., другими словами, что она получается путем подстановки в ряд Фурье (10.3) для

вместо каждого члена

Действительно, пусть

— любой из членов, составляющих получаются из посредством подстановки из октаэдральной группы. Так как выражение (10.3) симметрично относительно этой группы, то мы могли бы написать

и потому произведение на член равно

Знакопеременное суммирование по приводит к формуле (10.5).

На первый взгляд кажется, что эта формула без всякого труда решает нашу задачу, неприводимая составляющая сигнатуры входит с кратностью . Но это уж слишком упростило бы положение дела, поскольку сумма (10.5) содержит много членов, для которых

не сохраняют убывающего порядка. Правильный вывод, который следует извлечь из (10.5), состоит в следующем: неприводимое представление будет входить в произведение (10.2)

раз, где сумма распространена знакопеременно на все последовательности получающиеся из посредством операций из группы и где

Более легкое для запоминания выражение мы получим, используя символическое обозначение

Тогда интересующая нас кратность будет задана символическим выражением

Эта явная формула включает в качестве частного случая

разложение на неприводимые составляющие самого 2).

В удобной форме (10.5) наш результат зависел лишь от того факта, что характер симметричен относительно группы служившей для построения элементарных сумм. Следовательно, он будет верен равным образом и для линейной и ортогональной групп.

Теорема Пусть любое представление (унитарно ограниченной) группы с характером

Тогда функцией кронекеровского произведения 2) на неприводимое представление служит

То же верно и для линейной и ортогональной групп.