11. Формальные ортогональные инварианты

Параметризация Кэли сразу показала бы, что собственно ортогональные матрицы образуют рациональное неприводимое алгебраическое многообразие в -мерном пространстве всех матриц, — не будь исключительных элементов, не охватываемых параметризацией. Естественно напрашивается предположение, что

эти элементы, возможно, не играют роли. Руководствуясь этой надеждой, попробуем воспользоваться следующим модифицированным определением ортогонального инварианта, имеющим то преимущество, что оно носит более формальный алгебраический характер. Рассмотрим произвольную форму зависящую от нескольких векторов в нашем -мерном пространстве и однородную относительно этих аргументов с предписанными степенями Произведем над когредиентно подстановку

где косо-симметричная матрица и величин рассматриваются как неизвестные. В результате мы получим рациональную функцию от этих неизвестных, знаменателем которой служит степени

Функция для которой постулировано тождество

относительно переменных называется формальным ортогональным инвариантом.

Этот постулат подчиняет коэффициенты функции некоторому количеству однородных линейных уравнений с рациональными коэффициентами. Поэтому можно найти совокупность "линейно независимых базисных инвариантов , имеющих предписанные степени и рациональные коэффициенты, такую, что каждый инвариант есть линейная комбинация с постоянными коэффициентами а (из k). Теперь, безотносительно к положенному в основу числовому полю характеристики 0, наша проблема сведена к проблеме, касающейся лишь фундаментального поля х рациональных чисел.

Главным нашим результатом будет подтверждение теоремы для формальных ортогональных инвариантов. Нам нужно будет просто подправить наше прежнее рассуждение с тем, чтобы устранить препятствия, которые могут представить имеющиеся "исключения". Лемма и была придумана для достижения этой цели. Действительно, функция, инвариантная относительно преобразований инвариантна также относительно и таким путем инвариантность можно

пространить с неисключительных на все ортогональные преобразования. Сделаем несколько предварительных замечаний, которые подготовят нас к выполнению стоящей перед нами задачи.

Введем специальную несобственно ортогональную инволюцию

Будем называть формальный инвариант четным или нечетным сообразно тому, переводит ли функцию или же в Преобразование изменяющее знак лишь переменной, будет оказывать то же действие, поскольку собственно ортогональное преобразование

оставляет неизменной. Действительно, есть квадрат неисключительной матрицы

где обозначает косо-симметричную матрицу, в которой единственными элементами, отличными от нуля, являются

Так как формальный инвариант, то и форма в которую переводит также есть формальный инвариант; инвариантность относительно

равносильна инвариантности относительно

четно, нечетно. Следовательно, каждый формальный инвариант является суммой четного и нечетного инвариантов. Если

есть формальный инвариант в -мерном пространстве, то

есть формальный инвариант в -мерном пространстве. Сделанное выше замечание показывает, что последний инвариант четен, если четен первый. Если же заданный инвариант нечетен, то (11.1), очевидно, является нулем, потому что есть тождество в подпространстве

Мы теперь уже в состоянии произвести ревизию нашего доказательства в новой, более формальной интерпретации:

Теорема Каждый четный формальный ортогональный инвариант выражается через скалярные произведения его аргументов. Каждый нечетный формальный ортогональный инвариант является суммой членов где любые из аргументов, а четный формальный ортогональный инвариант.

Выделяющимся, по сравнению с прежним доказательством, моментом, и призом единственным, апеллирующим к соображению неформального численного характера, является следующий. Пусть -формальный инвариант, зависящий от аргументов, и пусть

численно заданные рациональные значения его аргументов. Существует перпендикулярный ко всем им отличный от нуля рациональный вектор. Произведя собственно ортогональное преобразование А так, чтобы этот вектор стал осью, мы переведем векторов

имеющих последней компонентой 0. Верно ли, что

Построение матрицы А может потребовать нескольких последовательных пифагоровых присоединений, так что элементы этой матрицы лежат в каком-то вещественном поле К над х. По лемме есть произведение двух неисключительных множителей

элементы которых также принадлежат К. Формальная инвариантность функции влечет за собой инвариантность относительно а потому и относительно тем самым равенство (11.2) действительно верно.

Форма с коэффициентами из поля характеристики 0, численно инвариантная при неисключительных рациональных собственно ортогональных преобразованиях, очевидно, формально инвариантна. Поэтому мы можем отметить в качестве следствия нашей теоремы тот факт, что инвариантность распространяется с таких частных преобразований на все собственно ортогональные преобразования при каком угодно поле над х.