3. Формальная отшлифовка результата

Мы снова попытаемся ослабить условия, наложенные на основное поле, и формализовать совокупность "всех" ортогональных преобразований. Будем сначала оперировать в рациональном основном поле х. Вследствие его вещественности, матрицы

индуцированные любым множеством рациональных ортогональных преобразований А, образуют множество, вполне приводимое над х. Вторым пунктом, где играет роль природа основного поля, является основная теорема теории инвариантов. Здесь мы прибегнем к ее формализованной интерпретации. Мы рассматриваем совокупность всех индуцированных рациональными неисключительными собственно ортогональными матрицами

и, кроме того, несобственно ортогональной матрицей (II.9.3), и заключаем из формализованной основной теоремы, что обертывающей алгеброй этой совокупности над х служит та же алгебра определяемая нашими соотношениями (2.2). Но так как это суть однородные линейные соотношения с рациональными коэффициентами, то элемент из взятый при произвольном поле над х, является линейной комбинацией конечного числа (рациональных) элементов из Нам будет удобно разбить формулировку нашего результата на две части:

Теорема Утверждения теорем справедливы при любом поле характеристики 0.

Дополнение. Даже более узкое множество тех которые индуцированы рациональными неисключительными собственно ортогональными А и матрицей настолько широко, что порождает в качестве своей обертывающей алгебры всю алгебру

Это дополнение принимает более стройный вид на языке теоремы Рассматриваем полиномы от всех элементов произвольной матрицы с коэффициентами из поля характеристики 0. Те которые после подстановки

обращаются в нуль тождественно относительно -переменных образуют идеал — ортогональный идеал (над есть простой идеал. Действительно, если произведение двух полиномов после подстановки (3.2) обращается в нуль тождественно относительно то это же имеет место и для одного из сомножйтелей.

Теорема Полиномы обращение которых в нуль определяет ортогональную группу, образуют

для той части ортогонального простого идеала о над элементы которой удовлетворяют дополнительному условию базис в смысле теоремы Отметим вытекающее отсюда

Следствие, -полином обращающийся в нуль при и при подстановке (3.2) тождественно относительно косо-симметричных обращается в нуль для каждой ортогональной матрицы А над

По устранении всех ограничений, относящихся к природе основного поля, ничто не мешает нам перенести все полученные, результаты на произвольную невырожденную основную метрическую форму