2. Предварительные сведения

Мы приступим теперь к более основательному исследованию структуры матричных алгебр. С каждой такой алгеброй 21 дается ее коммутаторная алгебра и одновременное рассмотрение с проливает больше света на строение алгебры

Несколько подготовительных замечаний, относящихся главным образом к "вырождению", расчистят нам путь. Мы все время оперируем в заданном поле и такие термины, как матрица, векторное пространство, алгебра, неприводимость, подразумеваются все "над Заданное множество матриц А может проявлять вырождение двоякого рода:

1) Все матрицы А отображают векторное пространство водно и то же собственное подпространство все образы лежат в Р: вырождение первого рода;

2) существуют векторы, неравные О, переводимые всеми преобразованиями А из в нуль: вырождение второго рода.

Если множество матриц проявляет вырождение первого рода, то множество транспонированных матриц А страдает второй болезнью, и обратно; действительно, наше предположение означает, что все векторы вида удовлетворяют нетривиальному условию

и потому контравариантный вектор переводится в нуль всеми А. Для отдельной матрицы невырожденность любого рода означает неособенность. Множество матриц содержащее единичную матрицу или любую неособенную матрицу, не является вырожденным ни в первом, ни во втором смысле. Векторы удовлетворяющие соотношению для всех А из , и векторы вида очевидно, образуют инвариантные подпространства. Поэтому неприводимое множество не может быть вырожденным первого рода, за исключением того случая, когда для всех А из и всех векторов Но тогда состоит из единственной матрицы и вследствие неприводимости порядок ее должен быть равен 1. Матричную алгебру , состоящую из одной лишь однострочной матрицы 0, или абстрактную алгебру, состоящую из единственного элемента 0, мы будем называть нулевой алгеброй. Таким образом, неприводимая матричная алгебра, если только она — не нулевая, не может быть вырожденной первого, а также, как легко доказывается аналогичным способом, — и второго рода.

Неприводимая матричная алгебра рассматриваемая как абстрактная алгебра, называется простой; или, другими словами, простая алгебра а есть алгебра, допускающая точное неприводимое представление : а Нулевая алгебра не считается простой по условию.

Если алгебра а содержит единицу то при представлении этой алгебры единице соответствует идемпотентная матрица т. е. матрица, удовлетворяющая условию Построим в нашем пространстве подпространства тех векторов для которых, соответственно,

Эти подпространства линейно независимы, и расщепляется на потому что

и дает таким образом требуемое однозначное разложение

(разложение Пирса). В системе координат, приуроченной к этому разложению, является единичной матрицей, окаймленной нулями:

Каждая матрица вследствие равенств

соответствующих равенствам а, содержит нулевое окаймление той же ширины. Поэтому мы можем и будем ограничиваться невырожденными представлениями, в которых представляется единичной матрицей Самые общие представления получаются из них окаймлением всех матриц нулями.

Совокупность всех -матриц порядка называется полной матричной алгеброй ранг ее равен

Из заданного множества матриц порядка можно получить два множества и состоящие из всех матриц порядка вида

или соответственно

Если алгебра, то — алгебры. Докажем следующую лемму:

Лемма Если неприводимая (и ненулевая) алгебра, то и неприводимая алгебра.

Таким образом нижним индексом указывается формальный процесс получения новых простых алгебр из заданной.

Доказательство. Векторы нашего -мерного пространства можно описать как системы из произвольных векторов основного -мерного пространства Пусть — подпространство пространства инвариантное относительно и содержащее, по крайней мере, один вектор

предположим, что Произведя над этим вектором операцию (2.2), в которой равны нулю все за исключением одного в первом столбце, находим, что

принадлежит . Так как вырожденный случай исключен нами, то можно выбрать так, чтобы поэтому заключаем, что в содержится по крайней мере один вектор вида

отличный от нуля. Пусть пробегает и пусть все остальные Вследствие неприводимости мы видим тогда, что каждый вектор вида

содержится в Суммируя по приходим к заключению, что совпадает с

Последним в этом разрозненном собрании будет замечание, фиксирующее стандартное рассуждение, встретившееся уже нам в § 1 и вновь встречающееся часто и дальше.

Лемма Из заданной последовательности неприводимых инвариантных подпространств можно выбрать подпоследовательность, все члены которой линейно независимы а дают ту же сумму, что и вся последовательность.

Предполагается, конечно, что векторное пространство подвергается действию заданного множества матриц. Пересечению любого из нашей последовательности с суммой предшествующих членов является инвариантным подпространством и потому есть либо 0, либо все . В первом случае мы оставляем , во втором — опускаем,