4. Расширение основного поля

Мы еще полностью не оценили идею, заключенную в основном нашем доказательстве возможности отнесения инвариантного подпространства 2 произведения к -базису Рассмотрим теперь ее следствия для совсем другого случая; » нормальная неприводимая матричная алгебра, произвольная алгебра с делением. Пусть 2 — инвариантное подпространство векторного пространства подвергаемого действию операторов из — операторы в -мерном пространстве ранга обладает -базисом так что каждый вектор из 2 однозначно выражается в виде

Будем теперь рассматривать как векторное пространство, получаемое из расширении его поля мультипликаторов до квази-поля Элементы пространства суть ряды образованные 8 величинами из Сложение определяется обычным образом, умножение на величину а из по формуле

Линейное подпространство пространства есть подмножество последнего, замкнутое относительно сложения и умножения на любое а из Формула (4.1) определяет подпространство имеющее базис

Каждый оператор А есть линейная подстановка с коэффициентами являющимися обыкновенными числами из

и потому перестановочен со всеми умножениями Если инвариантно относительно преобразований А из то каждое переводит базисные векторы в их линейные комбинации:

Будучи перестановочным с умножениями, А переводит тогда (4.1) в

где

Соответствие является представлением над (линейными преобразованиями, в которых коэффициенты стоят за переменными).

Теорема . При расширении поля до квази-поля над заданная нормальная матричная алгебра неприводимая над разбивается на и одинаковых неприводимых представлений алгебры 21 над

Этот способ обрисовки положения связан с нашей прежней точкой зрения следующим образом. В принятой здесь системе координат, получается из нашего представления путем замены каждого матрицей (умножение сзади), тогда как есть просто

Особую важность представляет случай, когда есть ком» мутативное поле К. В этом случае мы получаем из нашей теоремы, что после расширения основного поля до поля К, конечного над нормальная неприводимая матричная алгебра над к расщепляется на и одинаковых неприводимых матричных алгебр над К:

Матричная алгебра над К не только неприводима над К, но, в то же время, и нормальна. Действительно, как мы заметили в § 2, при расширении поля нормальность сохраняется. Рассмотрим снова частный случай Тогда мы должны иметь соотношение эквивалентности вида

где — нормальная алгебра с делением над К. Обозначая через: степень ранг представления (25) и сравнивая степени и ранги приходим к соотношениям

откуда

Теорема (IX.4.B). При расширении поля до поля К, конечного над нормальная алгебра с делением над к разбивается по формуле

где — некоторая нормальная алгебра с делением над К.

Всегда ли возможно путем надлежащего алгебраического присоединения добиться приведения коль скоро не есть еще основное поле , всегда. Выберем в любой элемент не являющийся численным кратным единицы и присоединим к корень 6 характеристического уравнения подстановки

Тогда преобразование будет вырожденным, и перестановочным со всеми матрицами (а) из (b). Поэтому, в силу леммы Шура, (b) должно приводиться над

Повтбрно применяя этот процесс, приходим к такому алгебраическому расширению К поля что

Теорема (IX.4.C). Существуют конечные алгебраическое поля К над так называемые поля расщепленияе над которыми заданная нормальная алгебра с делением над приводится по формуле

Поэтому ранг любой нормальной алгебры с делением является квадратом

Для любой нормальной неприводимой матричной алгебры над получаем в поле расщепления алгебры

где кратное . Ранг простой алгебры а есть квадрат «степень ее представления есть .

В исследованиях, приведенных в §§ 3 и 4, существенную роль играло предположение, что один из наших сомножителей нормален. В коммутативных полях происходят совершенно незакономерные. вещи: произведение двух полей разбивается на неэквивалентные части, и даже для обеспечения самой его полной приводимости требуются предположения относительно сепарабельности Аналогичное положение имеет место и для автоморфизмов: неопределенность, содержащаяся в производящей матрице теоремы вызывается центральными полями за. Вся суперструктура алгебр над коммутативными полями обладает относительно простой природой по сравнению с самими полями.