9. Представления собственно ортогональной группы

Равенство (4.4) можно следующим образом установить как предложение, относящееся к операции о, определенной формулой (7.4). Собственно ортогональная подстановка индуцирует в пространстве всех косо-симметричных тензоров ранга то же самое преобразование, что и в пространстве соответствующих им тензоров ранга Преобразования же, индуцируемые несобственно ортогональными А, противоположны (т. е. каждое равно другому, взятому со знаком минус). Пусть — две ассоциированные допустимые диаграммы и (7.2) — длины строк диаграммы Когда пробегает то тензор определяемый формулой (7.5), пробегает некоторое инвариантное подпространство и соответствующее представление полной ортогональной группы ассоциированно с Как мы заметили, по крайней мере для одного из тензоров подпространства а именно для соответствующий тензор лежит в подпространстве определенном ассоциированной диаграммой симметрии Те из для которых лежит в очевидно, образуют в инвариантное подпространство; вследствие неприводимости это подпространство, не будучи нулевым, должно совпадать со всем Другими словами, операция взаимно однозначно отображает на и представления соответствующие ассоциированным диаграммам, сами ассоциированы.

В случае четной размерности может быть самоассоциированной диаграммой. Для таких диаграмм удобно модифицировать определение операции о, отображающей теперь на себя, вводя в левую часть определяющего соотношения (7.4) множитель Тогда операция а становится

инволюторной, поскольку "четный или нечетный" характер перестановки

получается из аналогичного характера перестановки

умножением на

Мы теперь подготовлены к спуску к собственно ортогональной группе. Согласно результатам предыдущего параграфа, неприводимое представление полной группы остается неприводимым при ограничении собственными вращениями, если диаграмма не самоассоциированная. Представления же соответствующие двум ассоциированным диаграммам становятся теперь эквивалентными. Представление при самоассоциированной диаграмме симметрии разбивается на две части. Действительно, каждый тензор из пространства можно разложить в сумму "четного" или "нечетного" таких тензоров с помощью равенства

Оба подпространства — четных и нечетных тензоров — инвариантны относительно собственно ортогональных преобразований, тогда как любое несобственно ортогональное преобразование например переводит их одно в другое. Поэтому оба подпространства имеют одинаковую размерность и ни одно из них не пусто. Из наших общих рассмотрений вытекает, что относительно собственно ортогональной труппы они неприводимы и неэквивалентны. Никакие другие эквивалентности, кроме явно указанных нами, не вызываются снижением к собственно ортогональной группе.

Между прочим, случай нечетной размерности, где не происходит никакого приведения, допускает гораздо более простую трактовку. Действительно, тогда есть несобственно ортогональное преобразование, перестановочное со всеми элементами нашей группы. Так как построенные нами рациональные представления полной группы абсолютно неприводимы, то этот элемент, в силу леммы Шура, должен при любом из наших представлений представляться -кратным единичной матрицы, причем множитель будет равен либо либо —1, поскольку из следует

Мы суммируем полученные результаты следующим образом: Теорема При ограничении собственно ортогональной группой каждое неприводимое представление полной ортогональной группы остается неприводимым, если только диаграмма не самоассоциирована; в последнем случае разбивается на две неприводимые части одинаковой степени, с той, однакд, оговоркой, что при к основному полю нужно присоединить Ассоциированные представления становятся эквивалентными, но никаких других эквивалентностей не появляется.

Этой теоремой одновременно разрешается и вопрос о неэквивалентных неприводимых представлениях алгебры определенной равенствами (2.2) и (4.6), который представлялся нам трудно поддающимся лобовой атаке