8. Общий метод охвата контравариантных аргументов

Теорема расширения, установленная в последнем параграфе, действительна лишь для инвариантов ковариантных векторов. Однако существует общий метод вывода таблицы типовых базисных инвариантов для векторов обоих видов из таблицы типовых инвариантов для ковариантных векторов. Пусть

будут ковариантных или латинских векторов в -мерном пространстве; миноры порядка) матрицы компонент (6.7), надлежащим образом занумерованные и взятые попеременно с положительным и отрицательным знаком, являются компонентами контраварийнтного вектора который мы будем обозначать

Это непосредственно следует из тождества

для ковариантного вектора х, если предполагать, что в основу, положена (произвольная) группа унимодулярных линейных преобразований. При истолковании как однородных координат точки в -мерном проективном пространстве это есть хорошо известный процесс определения точки путем пересечения плоскостей.

Пусть инвариантная форма, зависящая от некоторого числа латинских (ковариантных) и греческих (контравариантных) аргументов; в частности, пусть она будет степени относительно Произведя сначала в поляризацию по :

а затем взяв в качестве вектор мы превратим в инвариант имеющий относительно степень, Новые латинские векторы введенные в этом процессе, мы назовем символическими векторами. Результатом будет инвариант

Мы приписали множитель чтобы обеспечить превращение нашего О обратно в при реституции (восстановлении)

вместо называется реституэнтой. Процесс реституции применим к любому инварианту линейно зависящему от символических ковариантных векторов

Сначала путем альтернирования делается кососимметрическим:

где сумма распространена знакопеременно на все перестановки векторов а затем производится реституция Результат, который мы выразим символической записью дается формулой

где сумма распространена знакопеременно на все перестановки индексов Вот два простейших примера реституции:

Повторяя процесс, приводящий от можно понижать степень, в которой входит 5, пока она не обратится в нуль; исключив так можно таким же способом уничтожить и остальные греческие аргументы. Конечно, с каждым шагом этого процесса будут вводиться новые совокупности символических латинских векторов, и именно по этой причине столь важно, что мы обладаем таблицей типовых базисных инвариантов, достаточной для любого числа латинских аргументов. Наши рассмотрения приводят, очевидно, к следующей лемме:

Лемма Для того, чтобы доказать, что таблица типовых базисных инвариантов полна, достаточно убедиться в том:

1) что она содержит полную таблицу таких инвариантов лишь для ковариантных аргументов и

2) что член (произведение базисных инвариантов), линейно содержащий символических векторов, превращается при реституции в инвариант, представимый с помощью базисных инвариантов нашей таблицы. (При выполнении реституции можно пренебречь теми сомножителями этого члена,

которые не содержат символических аргументов, в частности, "чисто греческими" множителями.)

Этот метод был детально разработан Вейтценбёком ; последний употребляет для символических векторов так называемый "комплексный символ" один и тот же для каждого из этих векторов, и автоматически обеспечивает альтернирование, вводя правило умножения

При применении этого метода приходится часто пользоваться некоторыми формальными тождествами для компонентных определителей. Если линейная форма, то

Последние векторов обозначаем развертываем определитель по первому столбцу и переносим последние членов в правую часть; получаем;

Сумма в левой части состоит из членов с чередующимися знаками, получающихся из выписанного члена путем выбора в качестве аргумента в по одному вектору из ряда и оставления других векторов в множителе при в их естественном порядке; так же следует поступить в выписанном справа члене с рядом чтобы получить все стоящие справа члены.

Когда дан член, содержащий компонентный определитель, то тождество (8.4), очевидно, позволяет нам вводить в этот множитель один символический вектор за другим и тем самым легко подготовить его к реституции:

Поэтому, если наша таблица содержит инвариант можно предполагать в лемме что член, подлежащий реституции, не содержит никакого компонентного определителя. Если в теореме доказан уже один тот факт, что является единственным типовым базисным "латинским" инвариантом для группы то это рассуждение в соединении

с формулой (8.2) дает новое доказательство нашей теоремы относительно векторов обоих видов.

Из (8.4) с помощью индукции выводится тождество

где косо-симметрическая полилинейная форма от аргументов, сумма в левой части распространена знакопеременно на все "смеси векторов

т. е. на все перестановки векторов сохраняющие порядок внутри каждой из обеих групп, правая же часть распространена на все "смеси"

Это тождество вводит внутрь компонентного определителя одновременно еще символических векторов. Частным случаем является формула

где реституэнта. В качестве применения докажем следующую теорему.

Теорема Присоединение к данной в теореме (II.6. А) таблице для компонентного определителя основных ковариантных аргументов и компонентного определителя

присоединенных контравариантных аргументов дает полную таблицу для группы ступенчатых преобразований, рассматриваемой в теореме

Согласно сделанному выше замечанию и формуле (8.2), требуют рассмотрения лишь члены, небодержащие ни одного полного компонентного определителя латинских векторов, но зато содержащие по крайней мере один компонентный определитель основных латинских векторов. Такой член мы расщепляем тогда на произведение множителей типа и произведение множителей

типа Первое из этих частичных произведений относится лишь к -мерному пространству основных компонент, и, применяя к нему наше тождество, можно собрать все символические векторы содержащиеся в этой части, в один такой множитель Получим тогда член вида

В абсолютной системе координат , первый множитель может быть записан в виде полного компонентного определителя

Применяя (8.6), получим, после реституции с реституэнтой С,

Разложение по последним столбцам показывает, что это — агрегат из членов вида и (8.7).