Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 13. СпинорыМы избираем тот же исходный пункт, что и Дирак в его классической работе о вращающемся электррне, задаваясь вопросом, нельзя ли рассматривать сумму квадратов
Коэффициенты
где показатели
где
Рассмотрим сперва Четный случай
Положим
где число множителей равно
стоят на
Эти равенства (знакомые специалисту по квантовой теории из процесса вторичного квантования в случае статистики Ферми) дают представление степени
Строки и столбцы наших матриц можно отметить знаками Поэтому в качестве индексов переменных пространстве представления служат комбинации знаков
с
имеют вид
где V на
Следовательно, наше представление алгебры Выполним теперь произвольное ортогональное преобразование
также является неприводимым представлением алгебры
Для пары ортогональных преобразований
где
образуя (13.5), получаем:
а согласно (13.4) левая часть есть
что, с другой стороны, равно
Коротко говоря, До сих пор все вполне проходит в любом поле
Матрицу С можно без труда выписать явно:
Из равенства (13.5) следует
и, в силу (13.7),
есть также решение уравнений (13.5) для
При замене
Знак в
то множитель х в (13.6) равен Выполненное нами нормирование предполагает возможность извлечения квадратных корней. Построения в эвклидовой геометрии с помощью линейки и циркуля алгебраически эквивалентны применению четырех арифметических действий и извлечению квадратных корней. На этом основании поле, в котором разрешимо каждое квадратное уравнение Оперируя в поле Клегко убеждаемся в том, что диагональное преобразование о из
представляется следующим диагональным
Это показывает, что когда о совершает оборот по окружности
то
распространенной на все комбинации знаков, — формула, подтверждающая нашу догадку об общей природе характеров двузначных представлений. Видоизменения, требуемые при
Тогда произведение всех наших
сводит ранг
то мы в состоянии каждому ортогональному преобразованию
где знак По поводу дальнейших подробностей, включая случай неопределенной основной метрической формы, столь важной для физики, см. цитированную выше работу
|
1 |
Оглавление
|