13. Спиноры

Мы избираем тот же исходный пункт, что и Дирак в его классической работе о вращающемся электррне, задаваясь вопросом, нельзя ли рассматривать сумму квадратов переменных как квадрат линейной формы:

Коэффициенты должны быть тогда величинами, удовлетворяющими соотношениям

величин этого рода определяют некоторую некоммутативную ассоциативную абстрактную алгебру в "качестве ее базисных элементов мы можем принять одночленов

где показатели целые числа, определенные по модулю 2, Правило умножения таково:

где

Рассмотрим сперва Четный случай и будем наряду с обозначением пользоваться обозначением

Положим

где число множителей равно матрицы

стоят на -вом месте; означают соответственно

Эти равенства (знакомые специалисту по квантовой теории из процесса вторичного квантования в случае статистики Ферми) дают представление степени нашей алгебры:

Строки и столбцы наших матриц можно отметить знаками

Поэтому в качестве индексов переменных в

пространстве представления служат комбинации знаков При этом, равно

с на -вом месте. Таким образом,

имеют вид

где V на -вом месте есть одна из четырех матриц

Следовательно, наше представление алгебры дает полную матричную алгебру ранга Вследствие совпадения рангов, это соответствие является взаимно однозначным изоморфизмом.

Выполним теперь произвольное ортогональное преобразование :

удовлетворяют тем же условиям (13.2), что и поэтому

также является неприводимым представлением алгебры Но из теоремы мы знаем, что полная матричная алгебра обладает лишь одним, в смысле эквивалентности, таким представлением. Другими словами, существует неособенная матрица определенная с точностью до численного множителя однозначно, такая, что

Для пары ортогональных преобразований имеем

где — численный множитель, зависящий от . Действительно, из

образуя (13.5), получаем:

а согласно (13.4) левая часть есть

что, с другой стороны, равно

Коротко говоря, есть "проективное" представление группы

До сих пор все вполне проходит в любом поле к которому присоединен Теперь же мы попытаемся так нормировать произвольный масштабный множитель в чтобы превратить проективное представление в обыкновенное "аффинное". Транспонированная матрица снова удовлетворяет условиям (13.2), и потому существует матрица С такая, что

Матрицу С можно без труда выписать явно:

Из равенства (13.5) следует

и, в силу (13.7),

есть также решение уравнений (13.5) для Поэтому

При замене на умножается на у, а заменяется на Взяв мы нормируем масштабный множитель так, что будет удовлетворять условиям

Знак в остается еще неопределенным. Так как и удовлетворяют нормированному условию

то множитель х в (13.6) равен Тем самым мы вместо проективного получили обыкновенное, хотя и двузначное, представление степени оно и называется спинорным представлением.

Выполненное нами нормирование предполагает возможность извлечения квадратных корней. Построения в эвклидовой геометрии с помощью линейки и циркуля алгебраически эквивалентны применению четырех арифметических действий и извлечению квадратных корней. На этом основании поле, в котором разрешимо каждое квадратное уравнение называют эвклидовым. Наш результат состоит тогда в том, что спинорное представление можно построить в любом эвклидовом поле-, эвклидова природа поля существенна. Ортогональные преобразования являются автоморфизмами эвклидова векторного пространства. Лишь обладая спинорами, мы достигаем того уровня в теории представлений этих автоморфизмов, на котором сам Эвклид, размахивая линейкой и циркулем, так искусно лавировал в стране геометрических фигур. Эвклидова геометрия должна быть глубоко связана с существованием спинорных представлений.

Оперируя в поле Клегко убеждаемся в том, что диагональное преобразование о из

представляется следующим диагональным

Это показывает, что когда о совершает оборот по окружности

то непрерывно изменяясь, меняет знак. Поэтому наверняка не односвязна. Характер спинорного представления оказывается равным сумме

распространенной на все комбинации знаков, — формула, подтверждающая нашу догадку об общей природе характеров двузначных представлений.

Видоизменения, требуемые при не очень серьезны. К величинам (13.3) мы присоединяем еще представляемое матрицей

Тогда произведение всех наших в порядке равно Дополнение формул (13.2) еще соотношением

сводит ранг алгебры и наше представление взаимно однозначно и изоморфно отображает тогда ее на полную матричную алгебру ранга 2. Так как из (13.4) следует

то мы в состоянии каждому ортогональному преобразованию отнести матрицу порядка 2 так, чтобы

где знак или — имеет место соответственно тому, является ли собственно или несобственно ортогональным.

По поводу дальнейших подробностей, включая случай неопределенной основной метрической формы, столь важной для физики, см. цитированную выше работу Брауэра и автора.