5. Величины. Разложение

Многообразие всех тензоров из рассматриваемое как поле действия группы есть область значений величины типа или, как мы предпочтем говорить, величины сигнатуры Областью значений кронекеровского произведения двух таких величин, сигнатур будет совокупность всех тензоров

ранга которые как функции первых аргументов принадлежат а как функции последних аргументов принадлежат Базис для этих тензоров получится, если, в произведении

дать пробегать базис для базис для Подобно всякому другому инвариантному подпространству пространства указанная совокупность разбивается на неприводимые инвариантные части, каждая из которых подобна некоторому

Таким образом, рассматриваемый нами класс примитивных типов величин замкнут относительно операции кронекеровского умножения (сопровождаемого разложением на примитивные

части). Допустив в качестве примитивных величин лишь ковариантные векторы, мы получим, очевидно, наименьший класс, удовлетворяющий указанному требованию, поскольку тензор ранга есть кронекеровское произведение векторов. Однако уже контравариантный вектор является простым примером величины типа, не подпадающего под нашу схему. Если ограничиться унимодулярными подстановками то будет вести себя как компонентный определитель

ковариантных векторов, использованный в § 8 главы II, или как косо-симметричный тензор ранга т. е. как величина сигнатуры ). Но по отношению к произвольным элементам А закон преобразования для отличается закона преобразования для (5.1) множителем

Это наводит на следующее общее замечание. Исходя из заданного представления можно образовать представление

той же степени; здесь — любой целый показатель. есть представление сигнатуры то представление (5.2) имеет сигнатуру Действительно, поставим перед диаграммой столбцов длины , так что получится Рассмотрим тензоры косо-симметричные относительно аргументов, стоящих в каждом из этих столбцов, и обладающие симметрией относительно совокупности остальных аргументов. Эти тензоры, очевидно, образуют неприводимое инвариантное подпространство, которое можно было охарактеризовать как

есть часть пространства (5.3) и потому, вследствие неприводимости последнего, должно совпадать с ним. Доказанный сейчас факт дает нам возможность приписать представлению (5.2) сигнатуру когда есть представление независимо от того, будет ли или действительно, представление (5.2) зависит лишь от сумм Результатом этого небольшого обобщения является устранение условия любые целые числа

расположенные в убывающем порядке,

образуют сигнатуру некоторого неприводимого представления. Соответствующие примитивные величины мы будем называть обобщенными; Кэли ввел для них термин Контр риантный вектор включается теперь в нашу классификацию как обобщенная примитивная величина сигнатуры . Кронекеровское произведение двух обобщенных величин, разбивается на некоторое число независимых обобщенных величин определенных сигнатур замкнутость относительно умножения при нашем обобщении не утерялась. Все типы получаются из диаграмм симметрии , содержащих лишь строк, путем присоединения множителя Де с любым целым показателем

Наряду с ковариантными тензорами, рассматривавшимися до сих пор, заслуживают рассмотрения и контравариантные тензоры закон преобразования которых отличается тем, что заменяется контрагредиентной матрицей . В какой связи находятся ковариантиые тензоры, обладающие заданной симметрией и контравариантные тензоры с той же симметрией? Я утверждаю: в то время как первые образуют примитивную величину сигнатуры вторые образуют примитивную величину сигнатуры . В частности, контравариантная форма степени

есть примитивная величина сигнатуры Рассмотрим инвариантные полилинейные формы

зависящие от ковариантных векторов где пробегает неприводимое множество всех контравариантных тензоров, обладающих симметрией Выполняя подстановку, аналогичную (5.1),

мы получаем инвариантное множество 2 форм, линейно зависящих от контравариантных векторов, т. е. совокупность ковариантных тензоров ранга Соответствующие представления разнятся множителем поэтому , так же. как

и неприводимо и, следовательно, подобно некоторому Это показывает, что контравариантные тензоры, обладающие симметрией образуют примитивную величину некоторой сигнатуры

Чтобы доказать, что

я воспользуюсь формальным применением характеров. При этом я постараюсь провести рассуждение так, чтобы его можно было непосредственно перенести на ортогональную и другие группы. Будут рассматриваться лишь «диагональные» преобразования

из Под действием преобразования (5.6) каждая тензорная компонента приобретает множитель

ее "вес". Каждое инвариантное подпространство 2 пространства характеризуется некоторым числом линейных уравнений, связывающих тензорных компонент . В силу этих уравнений некоторое число тензорных компонент (с весами ) линейно независимы в 2, причем каждая тензорная компонента в 2 линейно выражается через этот базис F. Оказывается, что может быть комбинацией лищь тех которые имеют тот же вес, что и Это утверждение является частным случаем общей теоремы Повторим доказательство. Пусть

— соотношение, выполняющееся для всех тензоров из . Так как инвариантно относительно подстановки (5.6), то тензор с компонентами также лежит в 2:

Умножая (5.7) на и вычитая из (5.8), получаем:

Следовательно,

откуда когда Поэтому мы можем определить базис выбирая по базису для тензорных компонент каждого веса в отдельности, члены, соответствующие различным весам, будут автоматически линейно независимы. Если в 2 в качестве координат взять базисные преобразование, индуцированное в 2 преобразованием (5.6), будет также диагональной формы, и если есть число базисных компонент веса

то след этого преобразования — характер — будет полиномом

с целыми неотрицательными коэффициентами

Расположим члены этого полинома в лексикографическом порядке. Для наивысшим возможным весом служит согласно лемме и ее доказательству, имеется точно одна линейно независимая компонента этого веса, а именно

Следовательно, характер начинается с члена

Тем же способом легко убеждаемся в том, что членом наинизшего веса елужит Этот результат справедлив для представления сигнатуры независимо от того, будет ли или

Преобразование (5.6) сопровождается преобразованием

для контравариантных векторов Поэтому характер для получается из характера для путем замены каждого на Это обращает лексикографический порядок, и потому старшим членом в характере для служит

что и доказывает наше утверждение (5.5). Так как сумма

инвариантна, то представления контрагредиентны друг к другу. Таким образом,

суть контрагредиентные типы, и это остается справедливым даже

Теорема Контравараантные тензоры, обладающие симметрией

составляют примитивную величину сигнатуры Неприводимые представления сигнатур

контрагредиентны друг к другу (даже если

Обобщение, состоящее в введении множителя Де с отрицательным показателем -приводит к тому, что типы обобщенных величин оказываются замкнутыми не только относительно умножения, но и относительно -операции замены типа контрагредиентным к нему.

В самом начале нашего исследования мы установили тождества Капелли и показали, как с их помощью индуктивно приводить формы, зависящие от любого числа векторных аргументов, к формам от не более чем или даже аргументов. Теперь мы в состоянии провести эту индукцию несколько более прямым путем. "Разложение" (4.3) может рассматриваться как его результат 5). С тензором мы ассоциируем полилинейную форму

от (котравариантных) векторов Мы проводим операцию с над в два шага: сперва симметризацию затем альтернирование Первый шаг выполняем в два этапа: мы отождествляем первые векторов далее следующие а затем полученную так форму зависящую более чем от аргументов подвергаем полной поляризации. В силу (3.9), равенство (4.3) показывает тогда, что есть линейная комбинация форм, получающихся путем полной поляризации из форм

зависящих не более чем от аргументов; в последнем процессе аргументы используются во всех возможных их перестановках, тогда как получается из путем определенного отождествления ее аргументов (между собой и) с аргументами формы Если инва» риантна относительно заданной группы линейных преобразований, то это же верно и для всех равно как и для форм, получающихся из путем поляризации.

Мы можем сделать еще один дальнейший шаг в согласии с тем, что мы назвали специальным тождеством Капелли. Если диаграмма содержит столбцов длины то соответствует разбиению

и тензоры обладающие симметрией или ассоциированные с ними формы будут тогда типа

где V принадлежит диаграмме содержащей лишь строк. Поэтому получается путем поляризации и альтернирования из формы, зависящей от аргументов, и будет по крайней мере относительным инвариантом под действием заданной линейной группы, если таковым является (с изменением веса на множитель ).

Важность полной линейной группы заключается в том - факте, что любая группа линейных преобразований является подгруппой группы и потому разложение тензорного пространства относительно должно предшествовать разложению относительно Не следует, однако, переоценивать эту связь; действительно, в конце концов каждая группа имеет право на самостоятельное существование и не заслуживает того, чтобы ее рассматривали лишь как подгруппу чего-то другого — будь это даже Ее Всеобъемлющее Величество