10. Дифференциальные уравнения для инвариантов. Абсолютные и относительные инварианты

Для полинома однородным образом зависящего от компонент каждого из векторов и системы

линейных операторов в соответствующих векторных пространствах можно образовать дифференциал

полагая

есть инвариант относительно системы а инфинитезцмальных преобразований, если Пусть другая система таких преобразований. Для любых двух чисел можно образовать линейную комбинацию

Кроме того, как легко проверить,

где обозначает систему

Если поэтому

то одновременно мы должны иметь и

Это, пожалуй, — быстрейший путь установления трех основных операций инфинитезимальной группы или "алгебры Ли". Инварианты характеризуются дифференциальными уравнениями

где а пробегает абстрактную алгебру Ли а, матрицы же в (10.1) суть матрицы, представляющие а каждая в своем представлении. Это — снова чисто алгебраическая схема; мы уже пользовались ею для ортогональной группы в главе 11.

Относительный инвариант характеризуется уравнениями

Число инфинитезимальный мультипликатор, является линейной функцией от а, и так как из

следует

то равно нулю, т. е. инфинитезимальный мультипликатор обращается в нуль для всех элементов а производной алгебры Ли.

Примеры. (1) . Инфинитезимальная группа состоит из -строчных матриц со следом 0. Равенства

показывают, что для производная совпадает со всей алгеброй Ли Следовательно, существуют только абсолютные инварианты.

(2) . Ее инфинитезимальная группа состоит из косо-симметричных матриц. Обозначая через матрицу, имеющую на месте на месте и нули — на всех остальных местах, легко проверяем, что

Поэтому при производная снова совпадает со всей и относительных инвариантов не существует.

(3) То же верно и для с ее инфинитезимальной группой

(4) У группы инфинитезимальная группа I состоит из всех вообще -строчных матриц Пример (1) показывает, что производной служит Поэтому инфинитезимальный мультипликатор должен быть кратен следу:

Эти результаты относительно алгебр Ли сохраняют силу при любом числовом поле . В случае они влекут за собой определенные следствия для соответствующих непрерывных групп. Допуская для компонент общей матрицы наших групп

произвольные комплексные значения, следует иметь в виду, что их вещественные и мнимые части надо рассматривать как отдельные параметры, а алгебру Ли — как определенную над К, а не над если только не ограничиваться лишь аналитическими представлениями, где возможно дифференцирование по комплексным параметрам. Поэтому в примере (4) следует заменить (10.4) утверждением, что является линейной комбинацией вещественной и мнимой частей следа, или равенством

с двумя постоянными Следующее замечание состой? в том, что, исходя из инфинитезимальных элементов, можно делать выводы лишь о собственной части группы. Имея это в виду, мы можем выдвинуть утверждение, что группа всех вещественных или унитарных или комплексных унимодулярных преобразований, группа всех вещественных или комплексных собственно ортогональных преобразований и группа всех вещественных или унитарных или комплексных симплектических преобразований не имеют относительных инвариантов. Действительно, каждая из указанных групп состоит из одного куска. Для всей ортогональной группы, охватывающей как собственную, так и несобственную части, мы сталкиваемся с различием между четными и нечетными инвариантами. Что же касается группы всех вещественных линейных преобразований А с положительным определителем или группы всех унитарных преобразований, то находим, что мультипликаторы относительных инвариантов этих групп необходимо имеют вид для группы же всех невырожденных комплексных линейных преобразований общий вид мультипликаторов таков:

произвольные вещественные или комплексные постоянные. Если потребовать, чтобы представления, а потому и мультипликаторы, были однозначными на всей группе, то для унитарной и полной комплексной групп будут допустимыми лишь целые значения Таким образом, топология бросает свою тень на алгебраическую сцену.

(5) Добавим еще один пример: группу всех вещественных преобразований вида

с положительными определителями (ступенчатые преобразования). Мультипликатор относительного инварианта необходимо имеет вид

с двумя постоянными показателями

Метод, которым мы получили эти результаты, предполагает, что мы имеем дело с представлениями, удовлетворяющими условиям дифференцируемости, позволяющим нам переходить к инфинитезимальным элементам (представления Ли). С точки зрения теории непрерывных групп это — серьезный недостаток инфинитезимального подхода. Если, однако, мы изучаем алгебры Ли как таковые, то наши результаты содержат полный, не оставляющий желать лучшего, алгебраический ответ на чисто алгебраический вопрос.