3. Бинарная квадратичная форма

Теорема Каждый инвариант бинарной квадратичной формы выражается через ее дискриминант, а каждый ковариант (простой или кратный) — через дискриминант, саму (поляризованную) форму и компонентные определители.

Мы берем этот простой случай в качестве иллюстрации того, как, вопреки нашим критическим замечаниям, можно иногда использовать символический метод, в комбинации с рассуждениями другого типа, для фактического определения целого рационального базиса.

Символическое выражение инварианта степени для квадратичной формы (2.3) будет инвариантом зависящим от эквивалентных символических бинарных векторов и имеющим по каждому из них степень выражается через компонентные определители типа

Произведение таких определителей, в которое каждый аргумент входит точно дважды, разбивается на некоторое число замкнутых цепей вида

где различны. Если цепь имеет нечетную длину, то, обращая порядок следования аргументов в каждом звене, получаем:

Так как правая часть отличается от (3.1) лишь нумерацией эквивалентных символов, то в этом случае для истинного инварианта К, символически выраженного посредством (3.1), получаем;

Пусть теперь цепь имеет четную длину, равную 21. Случай наименьшей длины 2 разрешается соотношением

В случаях бблыних длин используем тождество

Подставляя в (3.1) вместо произведения выражение

получаем:

или, переходя к несимволическим объектам:

Таким образом, индукцией по I находим:

соответственно нечетности или четности длины цепи. Этим и разрешается вопрос об инвариантах.

Обращаясь к ковариантам, заменяем контравариантный вектор согласно (IV.5.1), ковариантным вектором

тем самым превращая сигнатуру из (0, -1) в (1,0). Наряду с замкнутыми цепями мы встретимся теперь с цепями, соединяющими два греческих символа латинскими звеньями:

Кратчайшей такой цепью, если не считать самого компонентного определителя является

а это есть симметричная билинейная форма, соответствующая заданной квадратичной. Более длинные цепи, коль скоро они не равны нулю, получаются из этой умножением на степени дискриминанта. Метод доказательства — тот же, что и выше.

Символический метод и его применения получили столь широкое распространение в ходячих учебниках по теории инвариантов, что мы ограничимся одним этим примером.