где
различны. Если цепь имеет нечетную длину, то, обращая порядок следования аргументов в каждом звене, получаем:
Так как правая часть отличается от (3.1) лишь нумерацией эквивалентных символов, то в этом случае для истинного инварианта К, символически выраженного посредством (3.1), получаем;
Пусть теперь цепь имеет четную длину, равную 21. Случай наименьшей длины 2 разрешается соотношением
В случаях бблыних длин используем тождество
Подставляя в (3.1) вместо произведения
выражение
получаем:
или, переходя к несимволическим объектам:
Таким образом, индукцией по I находим:
соответственно нечетности или четности длины цепи. Этим и разрешается вопрос об инвариантах.
Обращаясь к ковариантам, заменяем контравариантный вектор
согласно (IV.5.1), ковариантным вектором
тем самым превращая сигнатуру из (0, -1) в (1,0). Наряду с замкнутыми цепями мы встретимся теперь с цепями, соединяющими два греческих символа латинскими звеньями:
Кратчайшей такой цепью, если не считать самого компонентного определителя
является
а это есть симметричная билинейная форма, соответствующая заданной квадратичной. Более длинные цепи, коль скоро они не равны нулю, получаются из этой умножением на степени дискриминанта. Метод доказательства — тот же, что и выше.
Символический метод и его применения получили столь широкое распространение в ходячих учебниках по теории инвариантов, что мы ограничимся одним этим примером.