2. Характер только для симметризации или только для альтернирования

Многообразие всех симметричных тензоров ранга является полем действия некоторого представления

полной линейной группы, которое может быть определено следующим образом. В то время как координаты в нашем основном -мерном векторном пространстве подвергаются линейному преобразованию

все составленные из них одночлены степени

подвергаются соответствующему линейному преобразованию Вычисление характера этого представления будет хорошей подготовкой к стоящим перед нами более трудным задачам аналогичной природы.

Можно сказать, что полем действия представления служит линейное многообразие всех форм степени от наших переменных Эта формулировка сразу обнаруживает, что выбор системы координат в несуществен для определения этого характера. Действительно, замена координат в

вызывает просто замену ("одночленного") базиса (2.2) для форм степени а известно, что след линейной подстановки не меняется при замене базиса.

Согласно общему плану нашего исследования, сперва ограничимся рассмотрением унитарных матриц А. Каждую такую матрицу А мы вправе считать заданной в ее нормальной форме Под действием А каждый одночлен (2.2) умножается на

т. е. соответствующее преобразование также имеет диагональный вид, и след этой подстановки, т. е. характер задается суммой

распространенной на все неотрицательные целые образующие в сумме Как показывает формула

(2,3) есть коэффициент при в разложении дроби

в ряд Тэйлора. Это разложение можно рассматривать либо как формальный ряд, либо как численное равенство, выполняющееся для комплексного переменного в области сходимости Знаменателем в (2.4) служит характеристический полином

и это замечание сразу позволяет вернуться от нормальной формы принимаемой нашим унитарным А в приуроченной к нему системе координат, к его матрице А в исходной системе координат, общей для всех элементов А из

В соответствии со сказанным мы вводим для любой линейной подстановки функции посредством формального разложения

Это означает, что для каждого мы будем иметь сравнение

а это позволяет рекуррентно определять коэффициенты один за другим:

с отрицательными индексами, считаются здесь равными нулю. Из этого рекуррентного определения следует, что есть однородный полином степени от величин Формула

пока доказана только для унитарных преобразований А. Однако, согласно их определению, обе части равенства (2.7) являются полиномами от переменных элементов матрицы следовательно, по лемме (VII. 1.А) это равенство распространяется на все элементы А из

Метод, которому мы здесь следовали, послужит образцом в будущих более сложных случаях. Но благодаря простоте результата естественно задаться вопросом: нельзя ли получить формулу (2.7) без обхода через унитарные подстановки и их иррациональную нормальную форму зависящую от решения характеристического уравнения? Обойтись без первого шага, действительно, довольно легко. Решая характеристическое уравнение для произвольного отображения А, можно привести его матрицу к рекуррентной или треугольной форме

Тогда принимает такой же вид, и след его оказывается равным

Обойтись без приведения А к удобной нормальной форме представляется несколько менее легким делом. Я изложу аналитический способ, отвечающий нашему теперешнему требованию использования подстановки в ее первоначальной форме (2.1).

Коэффициент линейного преобразования

может быть вычислен как интеграл

где каждая интеграция производится по единичной окружности в комплексной плоскости Поэтому применение того же процесса интеграции к разложению

содержащему вспомогательную переменную приводит к формуле

Когда переменные остаются соответственно на окружностях выражения

не могут по абсолютной величине превзойти некоторой границы наибольшего из чисел

Сходимость в (2.8) обеспечена при

Мы установим выполнение в этом круге требуемого равенства

доказав следующую лемму:

Лемма (VII. 2. А). Если

- линейная подстановка, удовлетворяющая неравенствам

то ее определитель и

где интеграции производятся единичным окружностям

Мы проведем доказательство индукцией по размерности и сделаем сперва несколько неопределенное предположение, что А достаточно близка к единичной матрице. Рассмотрим как функцию от переменной при фиксированных значениях на их окружностях При нашем предположении полюс

вызываемый приравниванием нулю, будет мал, тогда как другие полюсов, обращающие в нуль будут велики. Поэтому лишь первый из этих полюсов лежит в единичном круге, и интегральная формула Коши дает:

где

суть линейные формы, получающиеся из при подстановке вместо х значения (2.12) или при вычитании из кратных от обращающих в нуль коэффициенты при Это вычитание не изменяет определителя форм поэтому

Заметим, что преобразование (2.15)

снова близко к тождественному. Сравнение равенства (2.14 с результатом интегрирования соотношения (2.13)

и дает индуктивное доказательство равенства (2.11).

Простое вычисление показывает, что неравенства (2.10) влекут за собой: 1) требуемое положение -корней форм а именно, соответственно внутри или вне единичного круга, в предположении, что лежат на единичной окружности, и 2) такие же неравенства для А. Поэтому мы можем утверждать справедливость формулы (2.11) и при более точных предположениях нашей леммы

Определив, таким образом, различными способами характер представления сделаем следующий шаг по направлению к нашей окончательной цели, разбивая аргументов тензора ранга на несколько рядов длиною в соответственно данной диаграмме симметрии и рассматривая все тензоры, симметричные относительно аргументов каждого ряда. Они образуют инвариантное многообразие с соответствующим ему представлением группы Так как преобразование А представляется кронекеровским произведением

то его характер задается формулой

Тем самым нами решена задача определения характеров, когда диаграмма используется как базис для симметризации

(ср. § 2 главы IV). Соответствующая задача для альтернирования

даже еще проще. Если сперва снова ограничиться унитарными преобразованиями и рассматривать А в его нормальной форме

то антисимметричные тензоры ранга будут образовывать иоле действия представления, характер которого равен -той элементарной симметрической функции от или коэффициенту характеристического полинома (2.5). Тот же результат может быть получен абсолютно элементарным путем. Действительно, сразу видно, что след подстановки, которой подвергаются косо-симметричные тензоры под влиянием преобразования А, равен

Если столбцы диаграммы имеют длины то тензоры, антисимметричные относительно аргументов каждого столбца, образуют поле действия представления, характер которого равен

Однако действительной задачей является определение характера в том случае, когда применяются последовательно оба процесса: симметризация относительно строк и альтернирование относительно столбцов. К этой задаче мы подойдем теперь, пользуясь существенно более трансцендентным методом: совершенно независимо от всех предшествующих рассмотрений мы попытаемся вычислить характеры, соответствующие всем неприводимым непрерывным представлениям унитарной группы.