Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2. Характер только для симметризации или только для альтернированияМногообразие
полной линейной группы, которое может быть определено следующим образом. В то время как координаты
все составленные из них одночлены степени
подвергаются соответствующему линейному преобразованию Можно сказать, что полем действия представления вызывает просто замену ("одночленного") базиса (2.2) для форм степени Согласно общему плану нашего исследования, сперва ограничимся рассмотрением унитарных матриц А. Каждую такую матрицу А мы вправе считать заданной в ее нормальной форме
т. е. соответствующее преобразование
распространенной на все неотрицательные целые
(2,3) есть коэффициент при
в ряд Тэйлора. Это разложение можно рассматривать либо как формальный ряд, либо как численное равенство, выполняющееся для комплексного переменного
и это замечание сразу позволяет вернуться от нормальной формы В соответствии со сказанным мы вводим для любой линейной подстановки
Это означает, что для каждого
а это позволяет рекуррентно определять коэффициенты
пока доказана только для унитарных преобразований А. Однако, согласно их определению, обе части равенства (2.7) являются полиномами от переменных элементов Метод, которому мы здесь следовали, послужит образцом в будущих более сложных случаях. Но благодаря простоте результата естественно задаться вопросом: нельзя ли получить формулу (2.7) без обхода через унитарные подстановки и их иррациональную нормальную форму
Тогда
Обойтись без приведения А к удобной нормальной форме представляется несколько менее легким делом. Я изложу аналитический способ, отвечающий нашему теперешнему требованию использования подстановки Коэффициент
может быть вычислен как интеграл
где каждая интеграция производится по единичной окружности
содержащему вспомогательную переменную
Когда переменные
не могут по абсолютной величине превзойти некоторой границы
Сходимость в (2.8) обеспечена при Мы установим выполнение в этом круге требуемого равенства
доказав следующую лемму: Лемма (VII. 2. А). Если
- линейная подстановка, удовлетворяющая неравенствам
то ее определитель
где интеграции производятся Мы проведем доказательство индукцией по размерности
вызываемый приравниванием
где
суть линейные формы, получающиеся из
Заметим, что преобразование (2.15)
снова близко к тождественному. Сравнение равенства (2.14 с результатом интегрирования соотношения (2.13)
и дает индуктивное доказательство равенства (2.11). Простое вычисление показывает, что неравенства (2.10) влекут за собой: 1) требуемое положение Определив, таким образом, различными способами характер представления
то его характер задается формулой
Тем самым нами решена задача определения характеров, когда диаграмма
(ср. § 2 главы IV). Соответствующая задача для альтернирования
даже еще проще. Если сперва снова ограничиться унитарными преобразованиями и рассматривать А в его нормальной форме
Если столбцы диаграммы имеют длины
Однако действительной задачей является определение характера в том случае, когда применяются последовательно оба процесса: симметризация относительно строк и альтернирование относительно столбцов. К этой задаче мы подойдем теперь, пользуясь существенно более трансцендентным методом: совершенно независимо от всех предшествующих рассмотрений мы попытаемся вычислить характеры, соответствующие всем неприводимым непрерывным представлениям унитарной группы.
|
1 |
Оглавление
|