3. Представления простой алгебры

Теорема (III. 3. А). Алгебра с делением а является простой: уже ее регулярное представление и неприводимое, и точное.

Доказательство. Обозначим рассматриваемое как векторное пространство, снова через Подпространство пространства инвариантное относительно всех операций и содержащее элемент 0, должно содержать каждый элемент вида и следовательно каждый элемент с вообще:

Теорема Каждое невырожденное представление алгебры с делением а является кратным ее регулярного представления

Пусть а заданное невырожденное представление в -мерном векторном пространстве пусть обозначает общий вектор пространства систему координат. Имеем подпространствам пространства мы будем применять термины инвариантно, неприводимо, подразумевая инвариантность и неприводимость по отношению к алгебре матриц Равенство означает, что Пусть подпространство, состоящее из всех векторов где пробегает а. Установленное этим соответствие является подобием, т. е. переходит в поэтому инвариантно относительно преобразований из Тогда либо нуль, либо это отображение на есть взаимно однозначное соответствие. Действительно, элементы для которых образуют в инвариантное подпространство; и так как (а) неприводимо, то либо каждое х удовлетворяет соотношению либо никакое х, кроме нуля, ему не удовлетворяет. Первый случай здесь исключен, поскольку Сумма содержит каждый из базисных векторов и потому совпадает со всем пространством Применяя лемму к последовательности мы расщепляем на некоторое число линейно независимых инвариантных подпространств в каждом из которых индуцирует представление, эквивалентное регулярному представлению

Если допускать вырождение, то будет прямой суммой кратного регулярного представления и кратного нулевого представления.

Теорема Простая алгебра а содержит единичный элемент. Ее регулярное представление является

-кратным того точного неприводимого представления которым а была определена. Ранг алгебры а кратен степени этого представления:

Матрицы порядка являются линейными отображениями в -мерном векторном пространстве Регулярное представление (31) сопоставляет матрице А линейное отображение

аргумент которого X пробегает линейную совокупность выступающую здесь как -мерное векторное пространство Выделим в неприводимое инвариантное подпространство Оно подобно пространству по отношению к соответственным их преобразованиям и Действительно, пусть ненулевой элемент из — вектор из такой, что Формула отображает на инвариантное подпространство пространства посредством соответствия являющегося подобием, поскольку влечет за собой Вследствие неприводимости представления подпространство есть либо нуль, либо все пространство Первая возможность здесь исключена, поскольку В остающемся же случае подобие в силу неприводимости явлается взаимно однозначным соответствием между : те X из для которых образуют в инвариантное подпространство, и потому единственным таким элементом является Это доказывает, что любая неприводимая часть представления (91) эквивалентна представлению

Так как каждый вектор из представим в виде то, в частности, в существует элемент такой, что Вследствие инвариантности матрица лежит в для каждой матрицы X из Так как обе матрицы переводят в один и тот же вектор то для X, лежащих в они должны совпадать; в частности, матрица является производящим идёмпотентом подпространства Применяем теперь к идею пирсовского разложения и вводим инвариантные подпространства тех X, которые соответственно удовлетворяют уравнениям Первое из них действительно является подпространством, обозначавшимся ранее через Единственность разложения каждого X из на матрицу из и матрицу из

Обеспечивается тем, что из (3.1) следует

Повторяя этот процесс, мы определим неприводимое инвариантное подпространство пространства производящий идемпотент 12 подпространства и с его помощью разложение на и дополнительное инвариантное подпространство

Воспользовавшись выражением (3.2) для общей матрицы из получаем

где

Следующим шагом разбиваем а, на неприводимое инвариантное подпространство порождаемое в идемпотентом и дополнительное инвариантное подпространство состоит из матриц вида в вида

Продолжая так дальше, мы получим в окончательном итоге разложение пространства на неприводимые инвариантные подпространства по формуле

Как мы уже знаем, каждая неприводимая часть регулярного представления эквивалентна представлению поэтому (а) эквивалентно -кратному от

Так как компонентой матрицы в служит то, в частности, для матрицы (у которой -вой компонентой является все же остальные компоненты — нули) получаем:

Сумма

удовлетворяет уравнению для всех А из и в частности Вектор переводимый матрицей I в нуль,

удовлетворяет уравнению

поскольку Так как тривиальный случай нулевой алгебры нами исключен, то заключаем, таким образом, что свойством (3.4) обладает лишь Тогда пирсовское разложение (2.1) сразу показывает, что для каждого вектора т. е. что I есть единичная матрица; таким образом содержит единичную матрицу и, следовательно, а — единичный элемент представляемый в матрицей

Метод, с помощью которого мы получили теорему может быть использован для доказательства одного общего утверждения, которое заслуживает упоминания, хотя и не будет фигурировать в качестве необходимой части нашего теоретического построения.

Теорема Если регулярное представление (а) алгебры а расщепляется на неприводимые части то всякое представление, не являющееся вырожденным первого рода, расщепляется на неприводимые части, каждая из которых эквивалентна одному из .

Доказательство. Предположение теоремы состоит в том, что алгебра а, рассматриваемая как пространство регулярного представления, разлагается на неприводимые инвариантные подпространства Пусть общий вектор и система координат пространства заданного представления

снова будет означать совокупность всех векторов Образуем тогда таблицу

и применим к ней лемму (III. 2. В). Представление, индуцируемое представлением 21 в любом из оставленных подпространств эквивалентно представлению, индуцируемому в регулярным представлением; действительно, такое подпространство ненулевое и посредством отображения ставится во взаимно однозначное подобное соответствие с Сумма всей

таблицы содержит каждый вектор а следовательно и всякий вектор вообще, поскольку вырождение первого рода по условию исключено.

Непосредственным следствием этого и предыдущего предложений является

Теорема Каждое невырожденное представление простой алгебры а эквивалентно кратному ее точного неприводимого представления В частности, является единственным неприводимым представлением алгебры а.