9. Взаимность между групповым кольцом и коммутаторной алгеброй

Если принадлежит коммутаторной алгебре, то из соотношения

в силу (6.11) следует

Это замечание показывает, что инвариантно: одновременно с также содержится в потому что если величины лежат в а, то это же верно и для величин определяемых формулой (9.2). С другой стороны, в силу леммы инвариантно для любого линейного подпространства 2 из Р: Я/ДО есть линейная комбинация величин для любого вектора из 2. Далее, по определению имеем

Нашей целью является замена в этих соотношениях, в случае инвариантных включения с: равенством . В соответствии с этим мы выразим полную взаимность между и устанавливаемую операциями и в виде следующих двух теорем:

Теорема (III.9.A). Пусть произвольные инвариантные подпространства пространства тогда соотношения

влекут за собой, соответственно, соотношения

при этом, обратно,

Теорема Пусть — произвольные инвариантные подпространства пространства и тогда

и соотношения

влекут за собой, соответственно, соотношения

Прежде чем перейти к доказательствам этих теорем, сделаем следующее замечание. Если производящий идемпотент инвариантного а, то соответствующее состоит из всех векторов вида Действительно, лежит в 2, потому что, в силу леммы для каждого же из 2 имеем

Для доказательства первой части теоремы заметим, что равенство получающееся в результате применения к производящему идемпотенту подпространства а разложения приводит к следующему разложению для

Лемма позволяет убрать все крышки в соотношениях

что обеспечивает независимость составляющих

Соответствие подобия между определяемое формулами

порождает взаимно обратные преобразования

между векторами из . В силу (6.11) этими формулами устанавливается соответствие подобия:

Для доказательства второй части теоремы т. е. - соотношения мы построим с помощью производящего идемпотента подпространства о следующим образом. Пусть векторы образуют базис всего векторного пространства Так как все лежат в

лежит в Вводя

имеем Таким образом, лежит в если х лежит в Но каждое из удовлетюряет обоим условиям:

Обратная теорема устанавливает существенно важные факты. Ее утверждение, что

для любого подпространства , инвариантного относительно является становым хребтом всей теории. Пусть производящий идемпотент подпространства Как и всякий элемент из а, он имеет вид

где

— векторы, образующие базис для 2. Поэтому, в силу леммы

и всякий вектор из задается формулой

где

Каждое слагаемое суммы (9.4), получается из с помощью линейного преобразования которое, в силу той же леммы перестановочно со всеми Поэтому 2, будучи инвариантным относительно преобразований из коммутаторной алгебры вместе с содержит и Этим и доказано наше утверждение: или .

Из разложения по определению следует, что каждое х из может быть записано в виде суммы где Остается доказать, что линейно независимы, или что пересечение пусто, если пусто пересечение Но в силу уже доказанной части теоремы

поэтому согласно последней части теоремы

Переход от где будет основываться на следующем утверждении, доказательство которого содержится в лемме (III. 8. В);

Лемма как лево-, так и правоинвариантно.

В силу этого, обладает левым производящим идемпотентом для всех

Пусть векторы образуют базис подпространства и пусть заданное отображение подобия на переводит Если мы положим

( произвольные числа), то соответствие между с одними и теми же коэффициентами будет определять отображение подобия подпространства на так как, в силу леммы имеем

Однако это определение соответствия правомерно лишь, если из следует Докажем сперва, что

(для любого вектора . В силу леммы вектор есть сумма членов получающихся из соответствующих с помощью преобразования

Так как преобразования принадлежат коммутаторной алгебре то заданное отображение подобия на переводит в соответствующую часть вектора и потому Следовательно, влечет за собой в частности: если числа удовлетворяют уравнению то мы должны иметь или, по лемме для каждого вектора Поэтому данное у удовлетворяет условию для каждого из и в частности для Но так как у само лежит в то полученное равенство и доставляет требуемый результат;

Полная взаимность, установленная теоремами включает тот факт, что операция перецодит не только и часть а в часть но так же всякое в и собственную часть в собственную часть, предполагая, что рассматриваемые о суть инвариантные

подпространства пространства Разложение пространства на неприводимо инвариантные подпространства приводит к разложению пространства на подпространства неприводимо инвариантные относительно алгебры при этом оба разложения совершенно параллельны, вплоть даже до сохранения эквивалентностей.

Заметим в дополнение, что любое инвариантное подпространство 2 пространства разбивается на неприводимо инвариантные подпространства, каждое из которых подобно одной из рассмотренных выше частей 2, пространства Это справедливо для любого векторного пространства, вполне приводимого относительно некоторого множества линейных преобразований. Но доказательство особенно просто в данном случае. Действительно, пусть производящий идемпотент подпространства 2. Из разложения или

вытекает равенство

Так как неприводимо, то отображение либо переводит каждый вектор подпространства в нуль, либо представляет собой взаимно однозначное отображение подобия на некоторое подпространство в .

Теорема Пространство разбивается на неприводимые часта Любое инвариантное подпространство 2 пространства разлагается на неприводимые части, каждая из которых подобна одному из

Для полной оценки изложенного метода сравним его с методом упомянутым в § 6, состоящим в переходе от посредством теоремы и от посредством теоремы пользуясь построениями, данными в доказательствах обоих этих предложений Эти построения зависят от выбора координатной системы в и ни на одном из указанных двух шагов не проявляется такого полного параллелизма, какой обнаружен нами здесь. Совпадения между числами эквивалентных частей и не следует ожидать. В противоположность ограничению до в метод заменяет на его фактор-пространство по двусторонне инвариантному подпространству элементы которого а удовлетворяют уравнению тождественно для всех векторов Пробегая снова весь ход доказательства, можно сжато выразить суть метода (1) следующим

образом. Единица 1 группового кольца (или, лучше, ) разлагается на взаимно нормальные примитивные идемпотенты,

тогда

дают соответствующие разложения пространств и на неприводимо инвариантные подпространства (соответственно по отношению к и ). Действительно, если алгебра которую теперь следует отождествить с , записана в виде прямой суммы простых алгебр как в доказательстве теоремы а элементы каждой из простых составляющих — как -строчные матрицы

элементы которых принадлежат алгебре с делением то мы получим примитивные идемпотенты приравняв в (9.7) один из диагональных элементов единице алгебры а все остальные элементы в (9.7), равно как и все вообще элементы других простых составляющих нулю. Число членов в (9.5) равно Система координат в нашем векторном пространстве разбивается на части, различаемые тройками индексов

Векторы вида суть те, у которых обращаются в нуль все компоненты, кроме компонент с индексами

и эти векторы подвергаются под действием преобразованиям из неприводимой алгебры

Мы видим теперь, что существенная разница между методами и состоит в том, что в

тогда как в

Лишь второй способ устанавливает соответствие, не зависящее от выбора производящего идемпотента Таким образом, можно сказать, что более полные результаты, достигаемые методом возможны благодаря наличию в групповом кольце операции отсутствующей в произвольной (полупростой) алгебре