Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА VIII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВА. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ1. Классические. инварианты и инварианты обобщенных величин. Теорема ГрамаКлассическая теория инвариантов
Однородный полином
где
как показывает сравнение степеней обеих частей равенства
относительно коэффициентов преобразования Если
то
Теперь для Примеры. (1) Функциональный определитель или якобиан
есть система инвариантных линейных форм от дифференциалов
определитель (2) Для отдельной формы и "гессиан"
есть ковариант веса 2, так как
есть инвариантная квадратичная форма от дифференциалов Классическое понятие коварианта непосредственно обобщается на случай, когда в качестве аргументов допускается несколько контравариантных векторов
где в левых частях стоят полиномы, однородные как относительно коэффициентов
удовлетворяющая уравнениям (1.4), удовлетворяет также уравнениям
каким бы преобразованием (1.2) ни получались Теорема ( Доказательство основывается на простом формальном приеме, который мы опишем следующим образом. Пусть
с неопределенными
Все это выражение есть абсолютный ковариант, и этим же свойством обладает каждый коэффициент
То же верно и для любого однородного полинома от этих коэффициентов. Если в качестве
то Если
можно рассматривать как линейное преобразование, вводящее вместо компонент Следовательно, предположение об инвариантности смысла системы (1.4) позволяет вывести из нее систему
которая, обратно, снова сводится к (1.4) при специализации
Система (1.8) имеет нужный нам вид
От абсолютных ковариантов Вполне может случиться, что тождество
поглотит не только первое из уравнений (1.4), но и некоторые другие. Тогда можно будет соответственно уменьшить и число тождеств (1.9). Наши кратные коварианты Произвольная форма, зависящая от двух контравариантных векторов 5 и 7] в заданных степенях
Ее следовало бы заменить набором независимых примитивных величин, на которые ее можно расщепить. По этой причине мы отвергаем понятие кратных ковариантов, как не отвечающее существу дела. Резонно разбить каждое из наших уравнений (1.9) соответственно различным диаграммам симметрии. Раз уже усвоив критическое отношение к классическим концепциям, мы приходим к выводу, что в качестве аргументов в наших инвариантах нужно допускать обобщенные величины любой сигнатуры
Этой схемой, кроме ковариантных форм, охватываются также контравариантные основные формы и даже смешанные "конко-митанты" (зависящие от нескольких контравариантных и нескольких ковариантных векторов). В предположении, что
обобщенных величин
являющееся обобщением соотношения (1.3); это легко следует из того факта, что при подстановке
компоненты обобщенной величины степени Теорема (VIII. 1.В). (Обобщенная теорема Грама.) Система соотношений
между обобщенными величинами Доказательство. Мы можем считать, что
вместо контравариантных векторов
Тогда (1.11) превращается в полилинейную форму от систем переменных
Коэффициенты
являются абсолютно инвариантными функциями от
|
1 |
Оглавление
|