ГЛАВА VIII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ

А. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Классические. инварианты и инварианты обобщенных величин. Теорема Грама

Классическая теория инвариантов имеет дело с группой и рассматривает произвольную (ковариантную) форму а заданной степени зависящую от контравариантного вектора мы будем записывать такую форму в виде

Однородный полином степени от коэффициентов формы и есть инвариант веса если

где суть коэффициенты формы, в которую переходит и при произвольной подстановке

обозначает Вместо одной формы может иметь в качестве аргументов и несколько произвольных основных форм заданных степеней Если -степени относительно то необходимо

как показывает сравнение степеней обеих частей равенства

относительно коэффициентов преобразования Для простоты мы будем большей частью говорить об одной или двух основных формах, имея, однако, в виду произвольное их число.

Если зависит, кроме еще от контравариантного вектора и снова

то называется ковариантом. При этом предполагается, что есть однородная форма некоторой степени относительно тогда

Теперь для допускаются и отрицательные значения. Сами основные формы являются абсолютными ковариантами, или ковариантами веса нуль.

Примеры. (1) Функциональный определитель или якобиан

форм есть ковариант веса 1. Действительно,

есть система инвариантных линейных форм от дифференциалов Под влиянием подстановки

определитель таких форм умножается на определитель преобразования

(2) Для отдельной формы и "гессиан"

есть ковариант веса 2, так как

есть инвариантная квадратичная форма от дифференциалов

Классическое понятие коварианта непосредственно обобщается на случай, когда в качестве аргументов допускается несколько контравариантных векторов тогда мы говорим о кратном коварианте. Система уравнений

где в левых частях стоят полиномы, однородные как относительно коэффициентов формы , так и относительно коэффициентов формы имеет инвариантный смысл, если каждая система значений

удовлетворяющая уравнениям (1.4), удовлетворяет также уравнениям

каким бы преобразованием (1.2) ни получались из

Теорема ( (Теорема Грама.) Система соотношений (1.4), имеющих инвариантный смысл, всегда может быть выражена посредством обращения в нуль некоторого числа кратных абсолютных ковариантов.

Доказательство основывается на простом формальном приеме, который мы опишем следующим образом. Пусть любые контравариантных векторов. Заменим аргумент в форме на

с неопределенными

Все это выражение есть абсолютный ковариант, и этим же свойством обладает каждый коэффициент

То же верно и для любого однородного полинома от этих коэффициентов. Если в качестве взять единичные векторы

то обратятся снова в заданные коэффициенты

Если линейно независимы, то равенство

можно рассматривать как линейное преобразование, вводящее вместо компонент вектора новые координаты

Следовательно, предположение об инвариантности смысла системы (1.4) позволяет вывести из нее систему

которая, обратно, снова сводится к (1.4) при специализации

Система (1.8) имеет нужный нам вид

От абсолютных ковариантов требуется обращение в нуль при заданных значениях тождественно относительно аргументов

Вполне может случиться, что тождество

поглотит не только первое из уравнений (1.4), но и некоторые другие. Тогда можно будет соответственно уменьшить и число тождеств (1.9).

Наши кратные коварианты зависят от векторов Однако это никоим образом не является неожиданной особенностью нашей теоремы. Действительно, даже если бы содержали любое число векторных аргументов это число можно было бы с помощью общего тождества Капелли свести к Применением специального тождества Капелли это число можно снизить даже до предполагая, что допускаются лишь коварианты веса 0.

Произвольная форма, зависящая от двух контравариантных векторов 5 и 7] в заданных степенях является не примитивной величиной, а кронекеровским произведением примитивных величин сигнатур

Ее следовало бы заменить набором независимых примитивных величин, на которые ее можно расщепить. По этой причине мы отвергаем понятие кратных ковариантов, как не отвечающее

существу дела. Резонно разбить каждое из наших уравнений (1.9) соответственно различным диаграммам симметрии. Раз уже усвоив критическое отношение к классическим концепциям, мы приходим к выводу, что в качестве аргументов в наших инвариантах нужно допускать обобщенные величины любой сигнатуры не ограничиваясь лишь основными формами И при рассмотрении ковариантов следует понимать этот термин в широком смысле, введенном в § 5 главы I, как означающий обобщенную величину У, зависящую от некоторого числа переменных обобщенных величин предписанных сигнатур

Этой схемой, кроме ковариантных форм, охватываются также контравариантные основные формы и даже смешанные "конко-митанты" (зависящие от нескольких контравариантных и нескольких ковариантных векторов). В предположении, что имеет относительно своих аргументов соответственно степени имеем между степенями

обобщенных величин соотношение

являющееся обобщением соотношения (1.3); это легко следует из того факта, что при подстановке

компоненты обобщенной величины степени умножаются на Если для некоторого аргумента и сигнатура содержит отрицательное то представление, по которому преобразуются компоненты величины и, можно заменить представлением сигнатуры где выбрано так, чтобы Действительно, это будет иметь своим следствием лишь то, что сигнатура зависимой величины У заменится на Поэтому можно без сколько-нибудь существенного ограничения общности считать, что т. е. что и пробегает совокупность всех тензоров ранга с симметрией

Теорема (VIII. 1.В). (Обобщенная теорема Грама.) Система соотношений

между обобщенными величинами предписанных сигнатур имеющая инвариантный смысл, эквивалентна системе, утверждающей обращение в нуль некоторого числа ковариантов, т. е. обобщенных величин, зависящих от

Доказательство. Мы можем считать, что т. е. и пробегает совокупность всех тензоров заданного ранга с заданной симметрией Подставляем в инвариантную форму

вместо контравариантных векторов линейные комбинации таких векторов

Тогда (1.11) превращается в полилинейную форму от систем переменных

Коэффициенты

являются абсолютно инвариантными функциями от контравариантных аргументов Начиная отсюда доказательство протекает, как раньше.