ГЛАВА VI. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА

1. Векторные инварианты симплектической группы

Изучение симплектической группы, проявляющей тесную аналогию с ортогональной группой, предоставит нам случай повторить в ускоренном темпе все наше построение, развертывавшееся на протяжении предыдущих глав.

В то время как ортогональная группа состоит из всех преобразований, оставляющих инвариантной невырожденную симметричную билинейную форму (скалярное произведение), симплектическая группа определяется как совокупность всех преобразований, при которых остается неизменной заданная невырожденная косо-симметричная билинейная форма Мы можем считать, что это "косое произведение двух векторов

задано в нормированной форме

так что фундаментальных векторов ел, удовлетворяют соотношениям

(симплектическая система координат). Существование невырожденной косо-симметричной формы требует, чтобы число измерений было четным,

Действительно, любая заданная такая форма при надлежащем выборе системы координат переходит в (1.1), причем, в противоположность аналогичной нормализации скалярного произведения,

здесь преобразование — полностью рациональное, даже не требующее присоединения квадратных корней. Для доказательства начнем с произвольного вектора Вследствие невырожденности формы мы можем выбрать второй вектор так. чтобы и затем умножением его на надлежащий численный множитель добиться того, чтобы В силу соотношения векторы линейно независимы, и векторы х, удовлетворяющие одновременно уравнениям

образуют подпространство на два измерения меньше. Всякий вектор х может быть записан в виде

где для этого следует просто положить

Наше утверждение легко доказывается теперь индукцией по размерности Одновременно мы установили существование симплектической системы координат, первым фундаментальным вектором которой служит произвольный, наперед заданный ненулевой вектор, — и это, разумеется, при любом числовом поле (характеристики 0).

В то время как в случае ортогональной группы лишь квадрат определителя векторов выражается через их скалярные произведения, здесь мы находимся в более счастливом положении: сам этот определитель является агрегатом косых произведений. Поэтому ничего подобного различию между собственно и несобственно ортогональными преобразованиями здесь не появляется, и каждое симплектическое преобразование имеет определителем 1.

Для доказательства этих двух утверждений образуем знакопеременную сумму

распространенную на все перестановок независимых векторов Множитель приписан потому, что каждый член указанной суммы появляется в одинаковых копиях, получающихся из него при тех подстановках, которые не разлучают ни одну пару аргументов, соединенных в этом члене прямыми скобками Пусть означает сперва произвольную косо-симметричную форму

Каноническую форму (1.1) мы будем обозначать через так есть матрица

Выражение (1.3) принимает вид

где внутренняя сумма снова распространена на все перестановки векторов Эта внутренняя сумма отлична от нуля, лишь "если получаются из ряда какой-нибудь подстановкой и равна в этом случае сообразно с четностью или нечетностью подстановки Тем самым мы приведены к рассмотрению "пфаффиана"

где сумма распространена знакопеременно на все перестановки Пфаффиан играет для антисимметричной формы (1.4) ту же роль, какую определитель играет для симметричных форм. В результате получаем формулу

Пусть форма (1.4) под действием линейного преобразования

(когредиентно применяемого к переходит в

Формула (1.6) сразу приводит, к соотношению

Если взять в канонической форме (1.1), то пфаффиан принимает значение Поэтому показывает, что подстановка А, сохраняющая неизменной эту форму, должна иметь определителем 1. В этом и состояло второе наше утверждение. Что же касается первого утверждения, то, если сохранить за косым произведением ту же каноническую форму, равенство (1.6) примет более простой вид

и даст, таким образом, требуемое выражение определителя векторов через косые произведения.

Теорема (Первая основная теорема для симплектической группы.) Все векторные инварианты симплектической группы, зависящие от произвольного числа ковариантных и контравариантных векторов и выражаются через базисные инварианты типа

Доказательство Рассмотрим сперва случай, когда имеются одни лишь ковариантные векторы Доказательство можно провести точно по тому же плану, что и для ортогональной группы, с упрощением, связанным с тем, что здесь не появляется детерминантного множителя, чем, в то же время, исключается различение собственных и несобственных преобразований. Однако, чтобы индукция по размерности протекала беспрепятственно, надо сделать еще одно замечание. При рассмотрении инварианта зависящего от векторов вводится новая симплектическая система координат, относительно которой первые компоненты векторов обращаются в нуль. Здесь предполагаются численно заданными и линейно независимыми. Будучи, таким образом, приведены к рассмотрению функции

мы попали бы в затруднительное положение, если бы из вместе с не исчезли и аргументы индукция от измерениям не проходила бы. К счастью, это затруднение можно преодолеть посредством следующего простого рассуждения. Подвергнем компоненты совершенно не трогая остальных компонент произвольному унимодулярному преобразованию

Так как это — симплектическое преобразование, инвариант, то имеем:

Соотношение (1.10) выполняется для произвольных чисел и с одним лишь условием, что действительно, достаточно взять тогда Предложение об алгебраической несущественности неравенств показывает, что (1.10) есть тождество относительно переменных и 8. Следовательно, (1.10) остается в силе и для значений Получающееся таким образом равенство

показывает, что в действительности не зависит от

Введение контравариантных векторных аргументов наряду с ковариантными вряд ли менее тривиально, чем в случае ортогональной группы. Действительно, соотношения

связывают с заданным контравариантным вектором ковариантный вектор поскольку эти равенства могут быть выражены одним соотношением

тождественно выполняющимся относительно, ковариантного аргумента а это соотношение инвариантно относительно симплек» тических преобразований. Замечая, что

мы получаем, таким образом, наряду с и два других типовых инварианта таблицы (1.9).

Теорема (VI. 1.В). (Вторая основная теорема для симплектической группы.) Каждое соотношение между косыми произведениями является алгебраическим следствием соотношений следующих типов:

Сумма 2 распространяется знакоиеременно на все перестановки векторов Левые части, будучи косо-симметричными. полилинейными формами относительно этих векторов, необходимо обращаются в нуль.

Доказательство в основном аналогично данному в § 17 главы II для полной ортогональной группы. Однако следует обратить внимание на то, что теперь не исключена возможность объединения двух из «новых символов» х в один множитель типа ; действительно, это произведение теперь не симметрично, а косо-симметрично и потому не обращается при альтернировании в нуль. В этом — причина появления, кроме соотношения соответствующего соотношению теоремы (II.17.A), еще соотношений Далее, сравнение Капелли сводит интересующую нас теорему к тому факту, что между косыми произведениями векторов нет никаких соотношений. Последнее вытекает из возможности выбора векторов так, чтобы матрица их косых произведений совпадала с произвольной наперед заданной косо-симметричной матрицей; построение этих векторов может быть выполнено чисто рациональным путем. Но можно поступать также аналогично тому, как мы действовали в случае ортогональной группы.